Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 7037

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3.6. Следствия унитарности

199

распада античастицы с противоположной проекцией спина. Инвариантность по отношению к вращениям не позволяет вероятностям распада зависеть от z−компоненты спина распадающейся частицы,

поэтому частным случаем общей формулы (3.6.15) является утверждение, что нестабильные частицы и их античастицы имеют строго равные времена жизни.

* * *

Те же рассуждения, которые от условия унитарности S†S = 1 привели к формуле (3.6.2), позволяют использовать другое условие унитарности SS† = 1, чтобы получить соотношение

Im Mαα = −πz dβδ4 (pβ − pα )

Mαβ

2

(3.6.16)

.

Объединяя его с (3.6.2), приходим к соотношению обратимости

z dβδ4 (pβ − pα )

Mβα

2

= z dβδ4 (pβ − pα )

Mαβ

2 .

(3.6.17)

или иначе

X

dΓ(α → β)

X

dΓ(β → α)

Y dβcα

= Y dβcβ

,

(3.6.18)

dβ

dα

Z

Z

ãäå cα ≡ [V / (2π)3 ]Nα . Этот результат можно использовать при выводе

наиболее важных соотношений кинетической теории 23. Åñëè Pαdα

— вероятность обнаружить систему в объеме dα пространства

многочастичных состояний Φα, то скорость уменьшения Pα çà ñ÷åò

переходов во все другие состояния равна Pα z dβPβdΓ(β → α) / dα ,

а скорость увеличения Pα в результате переходов из всех других

состояний равна интегралу z dβPβdΓ(β → α) / dα ; поэтому

полная

скорость изменения Pα

dPα

X

dΓ(β → α)

X

dΓ(α → β)

= Y dβPβ

− Pα Y dβ

.

(3.6.19)

dα

dβ

dt

Z

Z

200 Глава 3. Теория рассеяния

Отсюда немедленно вытекает, что òPαda не зависит от времени.

(Для доказательства достаточно переобозначить переменные интегрирования во втором слагаемом (3.6.19).) С другой стороны, скорость изменения энтропии − z dαPα ln(Pα / cα ) равна

d X

F Pα I

X

X

F Pα

I

-

Y daPα lnG

J

= -Y daY db lnG

+ 1J

dt Z

H cα K

Z

Z

H cα

K

L

dG(b ® a)

dG(a ® b) O

´ MPβ

- Pα

P .

da

db

N

Q

Меняя обозначения переменных интегрирования во втором слагаемом, можно записать это выражение как

d X

F P I

X X

F Pβcα

I d

G(b ® a)

-

Y daPα ln

α

= Y daY dbPβ lnG

J

.

G c

J

dt Y

Y

Y

H

P c

β K

d

Z

H

α K

Z

Z

α

a

Далее, для любых положительных вероятностей x и y функция yln(y/x) yдовлетворяет неравенству *

F yI

³ y - x.

y lnG

J

H xK

Поэтому скорость изменения энтропии ограничена:

-

d

YX daPα lnGF

Pα

JI

³

dt Z

H cα K

X

X

L Pβ

Y daY dbM

Y

Y

M cβ

Z

Z

N

P O

d

-

α

P cβ

G(b ® a)

.

cα P

da

Q

Меняя обозначения переменных интегрирования во втором слагаемом, находим

d X

F Pα I

X

X

Pβ L

dG(b ® a)

dG(a ® b) O

-

Y daPα lnG

J

³ Y daY db

Mcβ

- cα

P .

da

db

dt Z

H cα K

Z

Z

cβ N

Q

* Разность левой и правой частей при x → y стремится к положительной величине (x − y)2/2y и имеет производную по x, которая положительна или

отрицательна при всех x > y или x < y, соответственно.

3. 7. Разложения по парциальным волнам

201

Но из условия унитарности (3.6.18) (в котором переставлены a è b) следует, что интеграл по a в правой части обращается в

нуль, поэтому можно заключить, что энтропия всегда возрастает:

d X

F Pα I

-

Y daPα lnG

J

³ 0.

(3.6.20)

dt Z

H cα K

Это соотношение носит название «Н−теоремы» Больцмана.

В учебниках по статистической механике ее часто выводят, либо используя борновское приближение, в котором |Mβα|2 симметрично

ïî a è b, òàê ÷òî ñβdG(b ® a)/da = cαdG(a ® b)/db, либо предпола-

гая инвариантность относительно обращения времени, из которой следует, что |Mβα|2 не изменяется, если поменять местами a è b,

одновременно обратив направления всех импульсов и спинов. Конечно, ни борновское приближение, ни инвариантность относительно обращения времени не являются точными , поэтому тот факт, что для вывода Н-теоремы нужно только условие унитарности (3.6.18), является хорошей новостью.

Рост энтропии прекращается, если вероятность Pα становится

функцией только сохраняющихся величин, таких, как полная энергия и заряд, умноженные на cα. В этом случае из законов сохранения вытекает, что производная dG(b ® a)/da обращается в нуль всегда, кроме случая, когда выполнено равенство Pα/cα = = Pβ/cβ, так что в первом слагаемом (3.6.19) можно заменить Pβ íà Pαcβ/cα. Вновь используя (3.6.18), видим, что в этом случае Pα íå

зависит от времени. Опять же, для этого вывода нам понадобилось не борновское приближение или инвариантность по отношению к обращению времени, а только условие унитарности (3.6.18).

3.7. Разложения по парциальным волнам *

Часто удобно работать с S-матрицей в базисе состояний свободных частиц, где все переменные, кроме полного импульса и полной энергии, дискретны. Такое описание возможно, поскольку компоненты импульсов p1, ..., pn n-частичного состояния с определенными

* Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть опущен при первом чтении.

202

Глава 3. Теория рассеяния

полным импульсом p и энергией Е заполняют (3n − 4)-мерное

компактное пространство. Так, в случае n = 2 в системе центра масс p = 0 этим компактным пространством является двумерная поверхность сферы.

Любая функция на таком компактном пространстве может быть разложена в ряд по обобщенным «парциальным волнам» типа сфери- ческих гармоник, обычно используемых для представления функций на 2−сфере. Поэтому можно определить базис таких n−частичных

состояний, который дискретен, за исключением непрерывных переменных р и Е.

Запишем состояния свободных частиц в этом базисе как ΦEpN,

причем индекс N включает все спиновые переменные и метки сортов частиц, а также те индексы, которые отмечают обобщенные парциальные волны. Удобно выбрать состояния нормированными так, что их скалярные произведения равны

(ΦE′p′N′ , ΦEpN ) = δ(E′ − E)δ3 (p′ − p)δN′N .

(3.7.1)

Матричные элементы оператора S в этом базисе имеют вид

(ΦE′p′N′ , SΦEpN ) = δ(E′ − E)δ3 (p′ − p)SN′,N (E, p),

(3.7.2)

ãäå SN′,N − унитарная матрица. Аналогично оператор Т, матричные элементы которого (Φβ, TΦα) совпадают с величинами Tβα+,

определенными формулой (3.1.18), может быть согласно (3.4.12) записан в новом базисе в виде

(ΦE′p′N′ , TΦEpN) = δ3 (p′ − p)MN′,N

(E, p), (3.7.3)

так что соотношение (3.2.7) становится обычным матричным выражением:

SN′,N (E, p) = δN′,N − 2πiMN′,N (E, p).

(3.7.4)

В следующем разделе мы используем этот общий формализм, но пока что рассмотрим реакции с двумя частицами в начальном состоянии.

Например, рассмотрим состояние из двух нетождественных частиц сортов n1 è n2 с отличными от нуля массами М1 è Ì2 и произвольными спинами s1, s2. В этом случае состояния можно пометить

3. 7. Разложения по парциальным волнам

203

их полным импульсом р = р1 + ð2, энергией Е, метками соротов частиц n1, n2, z-компонентами спинов σ1, σ2, и парой целых чисел l и m (где |m| ≤ l), которые задают зависимость состояния от направ-

ления, скажем, вектора p1. В качестве альтернативы можно построить удобный дискретный базис, объединив два спина в полный спин s с z−компонентой μ с помощью коэффициентов Клебша−Ãîð-

äàíà9, а затем, вновь используя эти коэффициенты, сложить спин с орбитальным угловым моментом l с третьей проекцией m, полу- чив полный угловой момент j с третьей проекцией σ.

Так мы приходим к базису состояний ΦEpjσlsn («индекс канала» n отмечает сорта двух частиц nl è n2), которые определяются их скалярными произведениями с состояниями, имеющими определенные значения импульсов и третьих проекций спина отдельных частиц:

(Φ

p σ p

σ

n′

, Φ

Epjσlsn

) ≡

(| p

| E E

/

E)−1/2 δ3 (p − p

− p

2

)

1

1 2

1

1

1

2

2

× δeE − p12 + M12 − p22 + M22 jδn′,n

×

åCs1s2 (s,

μ

σ

,

σ

2 )Cls(j,

σ

; m,

μ

m

$

(3.7.5)

1

;

)Yl

(p1).

m,μ

ãäå Ylm — обычные сферические гармоники 24. Дополнительный множитель (|p1|E1E2/E)-1/2 включен для того, чтобы эти состояния были правильно нормированы в системе центра масс:

(ΦE′p′j′σ′l′s′n′ , ΦE0jσlsn ) = δ3 (p′)δ3 (E′ − E)δj′,jδσ′,σδs′,sδn′,n . (3.7.6)

Чтобы избежать двойного счета для тождественных частиц, следует брать интеграл только по половине двухчастичного фазового объема в импульсном пространстве, так что â скалярном произведении (3.7.6) следует поделить на множитель 2 .

В системе центра масс матричные элементы любого сохраняющего импульс инвариантного относительно вращений оператора О должны иметь вид

(ΦE′p′j′σ′l′s′n′ , OΦE0jσlsn ) = δ3 (p′)Olj′s′n′,lsn (E)δj′,jδσ′,σ . (3.7.7)

(Диагональность по j и σ следует из перестановочных соотношений О с J2 è J3, а тот факт, что коэффициент при δσσ′ не зависит от σ,

Смотрите также файлы