Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Мы хотим сделать замену переменной интегрирования р на −р, а для этого нужно вычислить uab(−p,σ) è vab(−p,σ). Чтобы получить

необходимые выражения, достаточно вернуться к формулам (5.7.14) и (5.7.15) и использовать свойство симметрии коэффициентов Клебша−Гордана14

где, как и ранее, Px ≡ (−x, x0). Мы получили причинное поле ψabBA(x) ,

взятое в точке Px, если не считать того, что коэффициенты при слагаемых с операторами уничтожения и рождения могут отличаться от тех, которые выписаны в (5.7.31). Однако эти коэффициенты должны быть теми же самыми, что и в (5.7.31), с точностью до общего постоянного множителя, так как формула (5.7.31) представляет с точностью до масштаба единственное причинное поле любого типа. Отсюда отношение коэффициентов при двух слагаемых в (5.7.40) должно быть таким же, как и в (5.7.31) (с заменой В на А, так как предполагается, что (5.7.40) дает (В, А) поле):

Однако разность А − В отличается от спина j только на целое число,

òàê ÷òî

Частные случаи этого равенства мы анализировали в разделах 5.2, 5.3 и 5.5 для j = 0, j = 1 и j = 1/2. Теперь видно, что результат имеет общий характер: внутренняя четность ηcη пары частица−анти- частица равна +1 для бозонов и −1 для фермионов. Подставляя

(5.7.42) в (5.7.40), получаем окончательно для пространственной инверсии:

Рассмотрим1 применение этой1 формулы к дираковскому полю. Для верхних ( , 0) и нижних (0, ) компонент дираковского поля знак (−1)À+Â−j равен +1, так что оператор четности просто переводит x в −x, меняет местами верхние и нижние компоненты и умножает поле на η*. Замена верхних компонент на нижние у дираковского поля осуществляется матрицей β â (5.5.41).

ÑРассмотрим теперь операцию зарядового сопряжения. Действие на операторы уничтожения частиц и рождения античастиц определяется формулами

ãäå ξ è ξc — зарядовые четности частицы и античастицы, соответ-

ственно. Применяя это преобразование к полю (5.7.31), находим:

CψabAB(x)C-1 = (2π)-3/2 å z d3p uabAB(p, σ)

s (5.7.46)

× ξ*ac (p, σ)eip×x + ξc (−1)2B a†(p,−σ)(−1)j-s e-ip×x .

Полезно сравнить эту формулу для зарядово-сопряженного поля к полю (А, В) с формулой сопряженного (В, А) поля той же частицы:

ψbaBA† (x) = (2π)-3/2 ås z d3p uabAB* (p, σ)

(5.7.47)

× (−1)2A (−1)j -s ac (p,−σ)eip×x + a† (p, σ)e-ip×x .

322 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Чтобы вычислить u*, используем предыдущий результат:

Коэффициенты Клебша-Гордана в (5.7.14) действительны, так что

´ (-1)a¢-a (-1)b¢-b CBA (js; a¢b¢) .

Используем свойство отражения для коэффициентов Клебша-Ãîð-

äàíà14:

и то, что эти коэффициенты равны нулю во всех случаях, кроме a¢ + b¢ = s. Тогда

Отсюда сопряженное поле (5.7.47) принимает вид (мы делаем замену a ® -a, b ® -b, s ® -s):

yBA† (x) = (2p)-3/2 å z d3p (-1)a+b-s uAB(p, s)

-b,-a ab s

´ (-1)2A (-1)j +s ac (p, s)eip×x + a†(p, s)e-ip×x .

Используя соотношение между знаками (-1)−2A−j = (-1)2B+j, получа-

åì:

Для того, чтобы поле CψabAB(x)C−1 коммутировало или антикомму-

тировало со всеми обычными полями на пространственноподобных

расстояниях, необходимо, чтобы оно было пропорционально ψ -BAb,-†a,

так как это поле сопряжено к единственному причинному полю типа (А, В). Сравнивая (5.7.50) с (5.7.46), видим, что это возможно только в случае, если зарядовые четности связаны соотношением

Мы уже обсуждали соотношение (5.7.51) для спинов 0, 1 и 1/2 в разделах 5.2, 5.3 и 5.5, а также рассмотрели некоторые применения этого правила для анализа состояний электрон-позитронных и кваркантикварковых пар.

В частности, для частицы, совпадающей со своей античастицей, в формуле (5.7.52) следует опустить оператор зарядового сопряжения в левой части и множитель ξ* в правой:

Пример такого условия дейcтвительности уже рассматривался в разделе 5.5. для майорановских частиц.

Перейдем, наконец, к обращению времени. Действие на операторы уничтожения частиц и рождения античастиц имеет вид

Чтобы вычислить комлексно сопряженные коэффициентные функции, используем (5.7.14) и стандартную формулу 14

324 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Тогда

Меняя переменные интегрирования и суммирования в (5.7.56) на -ð è -s, находим, что для того, чтобы поле (А, В) при обращении

времени преобразовывалось в поле, пропорциональное другому (А, В) полю, необходимо выполнение условия

и в этом случае

* * *

Следует отметить, что время от времени сообщается о разных трудностях в теории частиц со спином ³ 3/2 15. В общем случае они

проявляются при изучении распространения полей с высшими спинами в присутствии с-числового внешнего поля. В зависимости от деталей теории, возникающие трудности включают отсутствие причинности, несовместность уравнений, нефизические массовые состояния и нарушение унитарности. Я не собираюсь подробно анализировать эти проблемы, поскольку мне кажется, что они не имеют отношения к той расчетной схеме, которая описана в данной главе, по следующим причинам.

1. Ïîëÿ yab(x) были построены здесь непосредственно из опе-

раторов уничтожения и рождения физических частиц, так что не может возникать никаких вопросов о несовместимости с уравнениями или о нефизических массовых состояниях. Построенные поля свободны, но включив их в плотность гамильтониана взаимодействия в картине взаимодействия, мы можем использовать теорию возмущений для расчета элементов S-матрицы, автоматически удовлетворяющих принципу кластерного разложения. До тех пор, пока гамильтониан взаимодействия эрмитов, не будет никаких трудностей с унитарностью. В рамках теории возмущений гаранти-