ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7018
Скачиваний: 12
316 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
Коэффициенты Клебша-Гордана отличны от нуля только при зна-
чениях s = a + b è s = ~ + ~, так что можно сделать замену a b
~ |
~ |
~ |
~ |
|||||||||||||||
-a + b - a |
+ b = -2a + s + 2b - s = 2b - 2a. |
|||||||||||||||||
Выражение exp(±q) можно записать как (р0 ± ð3)/m, òàê ÷òî |
||||||||||||||||||
p |
~~(p) = |
å |
~~ |
|||||||||||||||
CAB(js; ab)C~ ~ (js; ab) |
||||||||||||||||||
ab,ab |
AB |
|||||||||||||||||
σ |
||||||||||||||||||
R |
~ |
−2a |
~ |
|||||||||||||||
(p0 + p3) / m |
2b |
³ a) |
||||||||||||||||
´ |
| |
(b |
||||||||||||||||
S |
~ |
−2a |
~ |
, |
||||||||||||||
| |
(p0 + p3) / m |
2b |
||||||||||||||||
(a ³ b, ) |
||||||||||||||||||
T |
||||||||||||||||||
ãäå p0 º |
. Видим, что p(р) действительно можно записать |
|||||||||||||||||
p2 + m2 |
||||||||||||||||||
как значение полинома P(p,p0) на массовой оболочке. Кроме того, |
||||||||||||||||||
~ |
~ |
+ 2A |
минус четное целое число, так что полином |
|||||||||||||||
2b − 2a равно |
2B |
|||||||||||||||||
удовлетворяет условию отражения (5.7.23). |
||||||||||||||||||
Всякий полином по p и (p2 + m2 )1/2 можно записать в виде, |
||||||||||||||||||
линейном |
ïî |
(p2 + m2 )1/2 |
(выразив четные |
степени |
(p2 + m2 )1/2 |
|||||||||||||
через р), так что p(p) можно записать в виде |
||||||||||||||||||
p |
~~ (p) |
= |
P |
~~ (p) + 2 p2 |
+ m2 Q |
~~ (p), |
(5.7.24) |
|||||||||||
ab,ab |
ab,ab |
ab,ab |
||||||||||||||||
где теперь P и Q - полиномы только по р, причем |
||||||||||||||||||
~ |
(5.7.25) |
|||||||||||||||||
P(-p) = (-)2A+2BP(p), |
||||||||||||||||||
~ |
(5.7.26) |
|||||||||||||||||
Q(-p) = -(-)2A+2BQ(p). |
||||||||||||||||||
Для пространственноподобных промежутков x −
лоренцовскую систему отсчета, в которой x0 (5.7.19) в следующем виде:
† |
= [kk |
m (-) |
+ ~ |
~ |
]P ~~ (-iÑ)D+ (x - y,0) |
|||
[yab(x), y~~ (y)]m |
2A |
2B |
ll |
|||||
~* |
* |
|||||||
ab |
ab,ab |
|||||||
+ [kk |
± (-) |
~ |
~ |
]Q ~~ (-iÑ)d |
(x - y). |
|||
2A |
+2B |
ll |
3 |
|||||
~* |
* |
|||||||
ab,ab
5.7. Причинные поля. Общий случай |
317 |
Чтобы это выражение обращалось в нуль при x¹ y, должно выпол-
няться равенство
~* |
~ |
~ |
|||
= ±(-1) |
2A+2B |
* |
(5.7.27) |
||
kk |
ll . |
||||
Рассмотрим частный случай одинаковых y è |
ψ , òàê ÷òî |
~ |
|||
A = A |
|||||
~ |
|||||
è = ~ . (Подобные коммутаторы или антикоммутаторы неизбежно
B B
появляются в [H(x),H(y)], т. к. из эрмитовости гамильтониана вытекает, что если H(x) содержит y, он обязательно содержит и y†.)
В этом случае из (5.7.27) следует, что
| κ|2 = ±(−)2A+2B| λ|2 .
Такое возможно тогда и только тогда, когда |
|
±(−1)2A+2B = +1, |
(5.7.28) |
| κ|2 = | λ|2 . |
(5.7.29) |
Конечно, 2А + 2В отличается от 2j на четное целое число, так что из (5.7.28) следует утверждение: рассматриваемая частица является бозоном или фермионом в зависимости от того, четно или нечетно число 2j. Этим устанавливается общая связь между спином и статистикой.12 Мы видели, как выполняется эта связь на частных примерах частиц, описываемых скалярными, дираковскими и векторными полями.
Вернемся к общему случаю разных полей y è ψ . Äåëÿ îáå |
||||||
~ |
~ |
|||||
~ |
2 |
2 |
, получаем: |
|||
части (5.7.27) на | k| |
= | l| |
|||||
κ |
~ |
|||||
~ |
= (-1)2B+2B c k, |
|||||
k |
||||||
Отсюда вытекает, что для любого поля |
||||||
λ = (−1)2B cκ, |
(5.7.30) |
|||||
где с — один и тот же множитель для всех полей данной частицы. Далее, из (5.7.29) следует, что с есть просто фазовый множитель, |c| = 1. Поэтому можно устранить с для всех полей, переопределив
318 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
относительную фазу операторов a(p,σ) è ac†(p,σ) так, чтобы с = 1, откуда λ = (−)2Bκ. Наконец, множитель κ для каждого типа поля
можно устранить переопределением общего масштаба поля. Таким образом, приходим к формуле для преобразующегося по представлению (А,В) поля данной частицы, которое единственно с точностью до общего масштабного фактора:
ψab (x) = (2π)-3/2 å z d3p[uab (p, σ)a(p, σ)eip×x |
|||
s |
(5.7.31) |
||
+ |
(−)2B v |
ab |
(p, σ)ac† (p,−σ)e-ip×x ] . |
Для данной частицы разные поля реально не отвечают физически различимым возможностям. Например, для j = 0 возможными являются поля типа (А, А) (поскольку из неравенства треугольника |A − B| ≤ j ≤ A + B в данном случае следует А = В). Начав со скалярного (0,0) поля ϕ, можно без труда построить поля (А, А)
с помощью 2А-ой производной:
{∂m1 . . . ∂m2 A }ϕ, |
(5.7.32) |
здесь фигурные скобки {} обозначают бесследовую часть, например,
{∂m∂n } ≡ |
∂2 |
− |
1 |
ηmn9. |
∂xm∂xn |
4 |
(Напомним, что бесследовый симметричный тензор ранга N преобразуется по представлению (N/2,N/2).) Однако формула (5.7.31) представляет единственное причинное поле (А,В) для частицы данного спина j, так что для j = 0 поля (А,А) (5.7.31) могут быть только линейными комбинациями 2А-ых производных (5.7.32) скалярного поля.
В более общей формулировке любое поле (А,В) для данной частицы со спином j может быть представлено как дифференциальный оператор ранга 2В, действующий на поле ϕσ(x) òèïà (j, 0) (èëè
дифференциальный оператор ранга 2А, действующий на поле (0, j))13. Чтобы увидеть это, рассмотрим поле
{∂m1 . . . ∂m2 B } ϕs . |
(5.7 33) |
5.7. Причинные поля. Общий случай |
319 |
Оно преобразуется как тензорное произведение представлений (В,В) и (j,0), поэтому по обычным правилам векторного сложения это поле можно разложить по полям, преобразующимся по всем неприводимым представлениям (А,В), где |j − B| ≤ A ≤ j + B, или эквивалентно |A − B| ≤ j ≤ A + B. Так как для данной частицы со спином j формула (5.7.31) описывает единственное поле типа (А,В), оно может быть только * полем (А,В), полученным с помощью производных (5.3.33).
Рассмотрим поведение построенных полей относительно инверсий. Начнем с пространственной инверсии. Как следует из результатов раздела 4.2, свойства операторов уничтожения частиц и рождения античастиц по отношению к пространственной инверсии выражаются формулами
Pa(p, σ)P−1 = η*a(−p, σ), |
(5.7.34) |
Pac† (p, σ)P−1 = ηcac† (−p, σ), |
(5.7.35) |
ãäå η è ηc — внутренние четности частицы и античастицы, соответ-
ственно. Следовательно, общее причинное (А,В)P поле (5.7.31) преобразуется под действием оператора четности следующим образом:
PψabAB(x)P-1 = (2π)-3/2 å z d3p[η*a(−p, σ)eip×xuabAB |
|
s |
(5.7.36) |
+ηc (−)2B ac† (−p, σ)e-ip×xvabAB(p, σ)] .
* Единственный пробел в этом рассуждении связан с гипотетической возможностью, что некоторые полученные таким способом поля (А,В), на самом деле, обращаются в нуль. Но в этом случае поле ϕσ, отвечающее представлению
(j,0) должно удовлетворять полевому уравнению å σ Mσ (¶ /¶x)jσ (x) = 0 , следовательно, для каждого σ должно быть å σ Mσ (ip)uσ (p, s) = 0 .. Для представления (j,σ) коэффициент Клебша−Гордана Cj0 (jσ; σ0) равен просто кронекеровскому дельта-символу δss , откуда å σ Mσ (ip)Dσσ′ (L(p)) = 0 . Но это возможно только, если все Mσ(ip) = 0, ò. ê. D(Λ) имеет обратную матрицу D(Λ−1). Таким образом, поля ϕσ(x), отвечающие представлению (j,0), могут удовлетворять только уравнению Клейна−Гордона (9 − m2 )ϕ σ (x) = 0 . Ñëå-
довательно, ни одно из полей (А,В), полученных с помощью (5.3.33), не может быть равным нулю.