Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

рована и лоренц-инвариантность, пока мы добавляем в плотность гамильтониана подходящие локальные, пусть и нековариантные слагаемые. Хотя строгое доказательство этого отсутствует, нет оснований сомневаться в том, что это всегда возможно. Таким образом, любые трудности с высшими спинами могут возникать только при попытках выйти за рамки теории возмущений.

2.Как обсуждается в разделе 13.6, решение полевых уравнений в присутствии с-числового фонового поля (именно в подобных задачах были обнаружены все проблемы с высшими спинами) действительно требует выхода за рамки теории возмущений, так как результаты соответствуют суммированию бесконечного подмножества слагаемых в ряде теории возмущений. Это частичное суммирование обосновано, даже в случае слабых внешних полей, только если поля достаточно медленно изменяются, причем малость энергетических знаменателей компенсируется слабостью полей. Но полученные таким способом результаты зависят от всех деталей взаимодействия частицы с большим спином с внешними полями — не только от мультипольных моментов частицы, но и от возможных слагаемых во взаимодействии, которые нелинейны по внешним полям. Проблемы с высшими спинами 15 возникали только для таких частиц больших спинов, у которых произвольно предполагалось очень простое взаимодействие с внешними полями. Никто не доказал, что при учете произвольных взаимодействий проблема сохранится., а как мы увидим в гл. 12, следует ожидать, что частицы с высшими спинами обладают всеми возможными взаимодействиями, которые дозволены принципами симметрии.

3.На самом деле, есть серьезные основания полагать, что

проблемы с высшими спинами исчезнут, если взаимодействие с внешними полями будет достаточно сложным. С одной стороны, нет ни малейших сомнений в существовании частиц с высокими спинами, в том числе, различных стабильных ядер и адронных резонансов. Если и существует какая-то проблема, связанная

ñбольшим значением спина, она может касаться только «точечных» частиц, т. е. тех частиц, которые особенно просто взаимодействуют

ñвнешним полем. Следует не забывать, что требование простоты зависит от сделанного нами выбора того поля, которое представляет частицу с высшим спином. Напомним, что любые типы свободных полей для данной частицы могут быть записаны как результат действия оператора производной на любые другие типы полей,

так что в картине взаимодействия всякое взаимодействие с внешними полями можно записать с помощью любого желательного нам типа поля. Однако взаимодействия, выглядящие просто в случае использования поля одного типа, могут выглядеть сложно, если выразить их через поля другого типа. По этой причине требование простоты, похоже, не имеет никакого реального содержания.

4.Наконец, как многомерные теории типа Калуцы−Клейна, так

èтеории струн дают примеры самосогласованных теорий массив-

ных заряженных частиц со спином 2, взаимодействующих с фоновым электромагнитным полем 16. (Показано, что согласованность теории зависит от предположения о реалистичных внешних полях, удовлетворяющих полевым уравнениям. Этот момент не учи- тывался в ранних работах.) Если переформулировать такие теории в картине взаимодействия, то частица со спином 2 представляется свободным (1, 1) полем. Однако, как отмечено выше, взаимодействия можно выразить в этой картине с помощью любого поля типа (А, В), содержащего представление группы вращений с j = 2.

5.8. СPT-теорема

Мы видели, что сочетание требований теории относительности и квантовой механики приводит к необходимости существования античастиц. Однако необходимо не только то, что каждая частица имеет свою античастицу (в частном случае истинно нейтральные частицы совпадают со своими античастицами). Существует точное соотношение между свойствами частиц и античастиц, которое может быть сформулировано вÑÐÒвиде утверждения, что при подходящем выборе фазÑÐÒпроизведение всех инверсий сохраняется. Это знаменитая -теорема *.

* Первое доказательство этой теоремы принадлежит Людерсу и Паули 17. Строгое доказательство было дано в рамках аксиоматической теории поля 18. В нем предположения о коммутативности использовались для того, чтобы расширить лоренцовскую инвариантность теории до комплексной группы Лоренца, затем с помощью комплексных преобразований Лоренца доказать свойства вакуумных средних от произведений полей относительно отражений, и, наконец, используя эти свойства,ÑÐÒ вывести существование антиунитарного оператора, индуцирующего -преобразования полей.

В качестве первого шага в доказательстве рассмотрим, как произведение СРТ действует на свободные поля разных типов. Из результатов разделов 5.2, 5.3 и 5.5 для скалярного, векторного и дираковского полей получаем:

(Конечно, фазы ζ, ξ è η зависят от сортов частиц, описываемых

каждым полем.) Мы выбираем фазы так, чтобы для всех частиц

Тогда всякий тензор ϕμ1 ...μn , образованный любой совокупностью

скалярных и векторных полей и их производных, преобразуется как

численный коэффициент, возникающий в этих тензорах, преобразуется в комплексно сопряженный.) Нетрудно показать, что такое же правило преобразования применимо для тензоров, построенных из билинейных комбинаций дираковских полей. Применяя к ним формулу (5.8.3), находим:

(Знак «минус» от антикоммутации β è γ5 компенсируется знаком

«минус» от антикоммутации фермионных операторов.) Если билинейный ковариант есть тензор ранга n, то М равно произведению n по модулю 2 дираковских матриц, так что γ5Mγ5 = (–1)nM, è

поэтому билинейный ковариант удовлетворяет соотношению (5.8.5). Эрмитова скалярная плотность гамильтониана взаимодействия H(x) должна строится из тензоров с четным полным числом

пространственно-временных индексов, поэтому

Более общее (и в чем-то более легкое) доказательство теоремы можно дать для эрмитовых скаляров, построенных из полей ψabAB(x) ,

принадлежащих одному или нескольким общим неприводимым представлениям однородной группы Лоренца. Собирая результаты предыдущего раздела для результатов инверсии таких полей, получаем

(Для дираковского поля множитель (–1)2Â в (5.8.8) сопровожда-

Кроме того, в любой теории СРТ коммутирует ÑÐÒс гамильтонианом свободных частиц Н 0. Таким образом, оператор , который был определен здесь своим действием на операторы свободных частиц, действует на ин- и аут-состояния так, как описано в разделе 3.3. Физические следствия этого принципа симметрии уже обсуждались в разделах 3.3 и 3.6.

5.9. Поля безмассовых частиц

До сих пор мы рассматривали только поля массивных частиц. Для некоторых из них, например, для скалярного или дираковского полей, не возникает никаких проблем при переходе к пределу нулевой массы. С другой стороны, в разделе 5.3. мы видели, что для векторного поля частицы со спином 1 такой переход действительно сопряжен с трудностями: по крайней мере один из векторов поляризаций в таком пределе обращается в бесконечность. Мы увидим ниже, что все неприводимые поля (А,В), которые могут быть построены в случае конечной массы, нельзя построить из операторов