ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 7039
Скачиваний: 12
5.9. Поля безмассовых частиц |
329 |
рождения и уничтожения физических безмассовых частиц со спином j ³ 1. Такое любопытное ограничение на типы полей естественно
приведет нас к понятию калибровочной инвариантности.
Как и для массивных частиц, попытаемся записать произвольное свободное поле безмассовой частицы как линейную комбинацию операторов уничтожения a(p,s) частиц с импульсом р и спиральностью s и соответствующих операторов рождения ac†(p,s) äëÿ àíòè-
частиц *:
yl (x) = (2p)-3/2 |
z |
d3p |
å |
ka(p, s)ul (p, s)eip×x |
|
s |
(5.9.1) |
||
+ lac†(p, s)vl (p, s)e-ip×x |
, |
||
где теперь p0 º |p|. Операторы рождения преобразуются так же, как
одночастичные состояния в (2.5.42):
U(L)a†(p, s)U -1(L) = |
(Lp)0 |
expaisq(p, L)fa†(pL , s), |
(5.9.2) |
|||||||
p0 |
||||||||||
U(L)ac†(p, s)U -1(L) = |
(Lp)0 |
expaisq(p, L)fac†(pL , s), |
(5.9.3) |
|||||||
p0 |
||||||||||
и поэтому |
||||||||||
U(L)a(p, s)U -1(L) = |
(Lp)0 |
expa-isq(p, L)fa(pL , s) , |
(5.9.4) |
|||||||
p0 |
||||||||||
ãäå pΛ º Lp, à óãîë q определен формулами (2.5.43). Таким образом,
если мы хотим, чтобы поле преобразовывалось по некоторому представлению D(L) однородной группы Лоренца,
* Мы рассматриваем только один сорт частиц и опускаем соответствующую метку n. Кроме того, κ è λ – постоянные коэффициенты, которые
определяются из требования причинности при некотором подходящем выборе нормировки коэффициентных функций ul è vl.
330 Глава 5. Квантовые поля и античастицы
U(Λ)ψl (x)U−1(Λ) = å Dll (Λ−1)ψl (Λx), |
(5.9.5) |
l |
мы должны потребовать, чтобы коэффициентные функции u и v удовлетворяли вместо (5.1.19) и (5.1.20) соотношениям
ul (pΛ , σ) expaiσθ(p, Λ)f = |
p0 |
å Dll (Λ)ul (p, σ), |
(5.9.6) |
|||
(Λp)0 |
||||||
l |
||||||
vl (pΛ , σ) expa−iσθ(p, Λ)f = |
p0 |
å Dll (Λ)vl (p, σ). |
(5.9.7) |
|||
(Λp)0 |
||||||
l |
||||||
(Вновь pΛ ≡ Λp.) Как и в случае массивных частиц, этим требовани-
ям можно удовлетворить, положив (вместо (5.1.21) и (5.1.22)), что
ul (p, σ) = |
| k| |
å Dll (L(p)) ul (k, σ), |
(5.9.8) |
|||
p0 |
||||||
l |
||||||
vl (p, σ) = |
| k| |
å Dll (L(p)) vl (k, σ), |
(5.9.9) |
|||
p0 |
||||||
l |
||||||
где k — стандартный импульс, например, (0,0,k), а L (p) — стандартное преобразование Лоренца, переводящее безмассовую частицу из состояния с импульсом k в состояние с импульсом p. Кроме того, вместо (5.1.23) и (5.1.24) коэффициентные функции при стандартном импульсе должны удовлетворять соотношениям
ul (k, σ) expaiσθ(k, W)f = åDll (W) ul (k, σ), |
(5.9.10) |
l |
|
vl (k, σ) expa−iσθ(k, W)f = å Dll (W) vl (k, σ), |
(5.9.11) |
l |
ãäå Wμν — произвольный элемент «малой группы» для 4-импульса k
= (k, |k|), т. е. произвольное преобразование Лоренца, оставляющее этот 4-импульс инвариантным.
332 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
Тогда формулы (5.9.8) и 95.9.9) определяют их при произвольных импульсах. Уравнения для v являются комплексно сопряженными к уравнениям для u, так что при подходящем выборе постоянных k è l можно отнормировать коэффициентные функции так, чтобы
v |
l |
σ = u |
l (p, |
σ * |
. |
(5.9.16) |
(p, ) |
) |
Проблема в том, что для произвольных представлений однородной группы Лоренца не удается найти ul, удовлетворяющие (5.9.14). Более того, это не удается сделать даже для тех представлений, для которых при m ¹ 0 можно построить поля частиц данной спиральности.
Чтобы понять,1 1 в чем сложность, попробуем построить 4-векторное поле ( , ) для безмассовой частицы со спиральностью
±1. В 4-векторном представлении имеем просто:
Dμ ν (Λ) = Λμ ν .
Принято записывать коэффициентные функции через «вектор поляризации» eμ:
uμ (p, σ) ≡ (2p0)−1/2 eμ (p, σ), |
(5.9.17) |
так что из формулы (5.9.8) получаем |
|
eμ (p, σ) = L(p)μ ν eν (k, σ). |
(5.9.18) |
Далее, формулы (5.9.12) и (5.9.14) принимают вид: |
|
eμ (k, σ)eiσθ = R(θ)μ ν eν (k, σ), |
(5.9.19) |
eμ (k, σ) = S(α, β)μ ν eν (k, σ). |
(5.9.20) |
Из (5.9.19) следует, что с точностью до константы, которую можно включить в коэффициенты k è l,
eμ (k,±1) = (1, ± i, 0, 0) / |
2 |
. |
(5.9.21) |
Но тогда из (5.9.20) вытекает, что одновременно a ± ib = 0, что невозможно для произвольных действительных a è b. Поэтому