Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

уничтожения безмассовой частицы со спиральностью s и операторов рождения античастицы со спиральностью –s, ãäå

Например, компоненты (1, 0) и (0, 1) дираковского поля безмасовой частицы1 1 могут только уничтожать частицы со спиральностью

–1 è +1 и, соответственно, рождать античастицы со спиральностью + и – . В «двухкомпонентной»1 теории нейтрино рассматриваются только поле ( , 0) и сопряженное1ему поле, так что в этой теории спиральность1 нейтрино равна – , а спиральность антинейтрино равна + .

Теми же методами, что и в разделе 5.7, можно показать, что (j, 0) и (0, j) поля безмассовых частиц со спином j (т. е. со спиральностью еj) коммутируют друг с другом и со своими сопряженными на пространственноподобных расстояниях, если коэффициенты у слагаемых с операторами уничтожения ии рождения в (5.9.1) удовлетворяют соотношению (5.9.39). После этого можно так подобрать относительную фазу операторов уничтожения и рождения, чтобы эти коэффициенты стали равными. Легко видеть, что поля безмассовых частиц со спином j типа (А, А + j) или (В + j, В) являются просто производными порядка 2А или 2В полей типа (0, j) или (j, 0), соответственно, так что нет нужды рассматривать здесь такие более общие поля.

Теперь можно понять, почему нельзя построить векторное поле для безмассовых частиц со спиральностью1 1 ±1. Векторное поле

преобразуется по представлению ( , ), поэтому согласно (5.9.19) может описывать только спиральность нуль. (Конечно, можно построить векторное поле для нулевой спиральности — для этого достаточно просто взять производную ¶μj безмассового скалярного поля j.) Простейшее ковариантное безмассовое поле для спиральности ±1 преобразуется по представлению (1, 0) Å (0, 1).

Иными словами, это антисимметричный тензор fμν. Анало-

гично, простейшее ковариантное безмассовое поле для спиральности ±2 преобразуется по представлению (2, 0) Å (0, 2), ò. å.

это тензор четвертого ранга, который, как тензор кривизны Римана–Кристоффеля, антисимметричен при перестановке внутри каждой пары индексов и симметричен при перестановке самих этих пар.

Обсуждение операций инверсий Р, С, Т, проведенное в предыдущем разделе, с очевидными модификациями переносится на случай нулевой массы.

Задачи

1. Покажите, что если коэффициентные функции при нулевом импульсе удовлетворяют условиям (5.1.23) и (5.1.24), то коэффициентные функции (5.1.21) и (5.1.22) для произвольного импульса удовлетворяют определяющим условиям (5.1.19) и (5.1.20).

2. Рассмотрите свободное поле ylμ (x), которое уничтожает и рож-

дает зарядово самосопряженные частицы со спином 3/2 и массой m ¹ 0. Вычислите коэффициентные функции ulμ (p, s), на которые умножаются операторы уничтожения a(p,s) â âû-

ражении для этого поля, при условии, что под действием лоренцовских преобразований поле преобразуется как дираковское поле yl с дополнительным 4-векторным индексом m.

Каким полевым уравнениям, алгебраическим условиям и условиям действительности удовлетворяет это поле? Найдите матрицу Pμν(p), которая при p2 = –m2 определена равенством

å ulμ (p, σ)umν* (p, σ) ≡ (2p0 )−1 Plmμν (p) .

σ

Каковы коммутационные соотношения дляÐ ÑэтогоÒполя? Как оно преобразуется под действием инверсий , и ?

3. Рассмотрите свободное поле hμν(x), удовлетворяющее условиям hμν(x) = hνμ(x) è hμμ(x) = 0, которое уничтожает и

рождает частицу спина 2 и массой m ¹ 0. Вычислите коэффициентные функции uμν(p,s), на которые умножаются операторы уничтожения a(p,s) в выражении для этого поля, чтобы

под действием лоренцовских преобразований поле преобразуется как тензор. Каким полевым уравнениям удовлетворяет это поле? Найдите функцию Pμν,κλ(p), определенную ра-

венством

å uμν (p, s)uκλ* (p, s) º (2p0 )−1 Pμν,κλ (p).

σ

Каковы коммутационные соотношения дляÐ этогоÑ Òполя? Как оно преобразуется под действием инверсий , и ?

4. Покажите, что для безмассовой частицы со спином j поля типа (А,А+j) или (В+j,В) являются производными порядка 2А или 2В полей типа (0,j) или (j,0), соответственно.

5. Выясните трансформационные свойства полей типа (j,0) + (0,j) безмассовых частицÐ Ñ ñîÒспиральностью ±j под действием опера-

ций инверсии , и .

6. Рассмотрите обобщенное дираковское поле y, которое преобразуется по представлению (j,0) + (0,j) однородной группы Лоренца. Перечислите тензоры, которые можно образовать из произведений компонент y è y†. Проверьте1результат, сравнив

с найденными нами выражениями для j = .

7. Рассмотрите обобщенное поле yab, описывающее частицы со спином j и массой m ¹ 0, которое преобразуется по (А,В)

представлению однородной группы Лоренца. Предположим, что гамильтониан взаимодействия этого поля имеет вид

V = z d3x[ψ ab (x)Jab (x) + Jab† (x)ψ†ab (x)] ,

ãäå Jab — внешний с-числовой ток. Каково асимпототическое поведение матричных элементов испускания этих частиц с энергией E . m и определенной спиральностью? (Предположите, что фурье-образ тока при разных a, b имеет значения одного порядка величины и не зависит сильно от Е.)

Список литературы

1. Подход, излагаемый в этой главе, был представлен в серии работ: Weinberg, S., Phys. Rev., 133, D1318 (1964); 134, B882 (1964); 138, B988 (1965); 181,1893 (1969). Аналогичный подход был

изложен в неопубликованных лекциях Ю. Вихмана.

2. Bohr, N. and Rosenfeld, L., Kgl. Danske Vidensk. Selskab. Mat.-Fys. Medd., No. 12 (1933) (перевод в сборнике: Selected papers of Leon Rosenfeld, ed. by R.S. Cohen and J. Stachel (Reidel, Dordrecht, 1979)); Phys. Rev., 78, 794 (1950).

3. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc. (London), A117, 610 (1928).

4. Cartan, E., Bull. Soc. Math. France, 41, 53 (1913).

5. См., например, Jauch, J.M. and Rorlich, F. The Theory of Photons and Electrons (Addison-Wesley, Cambridge, MA, 1955), Appendix A2; Georgi, H. Lie Algebras in Particle Physics (Benjamin-Cummings, Reading, VA, 1982), pp. 15, 198. Исходная ссылка: Schur, I., Sitz. Preuss. Akad., p. 406 (1905).

6. См., например, Georgi, H. Lie Algebras in Particle Physics (BenjaminCummings, Reading, VA, 1982), pp. 15, 198. Исходная ссылка: Schur, I., Sitz. Preuss. Akad., p. 406 (1905).

7. Lee, T.D. and Yang, C.N., Phys. Rev., 104, 254 (1956).

8. См., например, Van der Waerden, B.L. Die Gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik (Springer Verlag, Berlin, 1932); Любарский, Г.Я. Теория групп и ее применение в физике (М.: Гостехиздат, 1957).

9. Rarita, W. and Schwinger, J., Phys. Rev., 60, 61 (1941).

10. См., например, Edmonds, A.R., Angular Momentum in Quantum Mechamics (Princeton University Pree, Princeton, 1957), Chapter 3 (есть рус. пер.: Эдмондс, А. Угловой момент в квантовой механике. М.: ИЛ, 1968).

11. Weinberg, S., Phys. Rev., 181, 1893 (1969); Section V.

12. Fierz., M., Helv. Phys. Acta, 12, 3 (1939); Pauli, W., Phys. Rev., 58, 716 (1940). Не основанные на теории возмущений доказа-

тельства в аксиоматической теории поля были даны в работах: Lü ders, G. and Zumino, B., Phys. Rev., 110, 1450 (1958); Burgoyne,

N., Nuovo Cimento, 8, 807 (1958). См. также: Streater, R.F. and Wightman, A.S. PCT, Spin & Statistics, and All That (Benjamin, New York, 1968) (есть рус. пер.: Стритер Р., Вайтман А. РСТ, спин и статистика и все такое. М.: Мир, 1970).

13. Поля в представлении (j,0) + (0,j) были введены в работе: Joos, H., Fortschr. Phys., 10, 65 (1962); Weinberg, S., Phys. Rev., 133, B1318 (1964).

14. Edmonds, A.R. [10], èëè Rose, M.E. Elementary Theory of Angular Momentum (Wiley & Sons, New York, 1957), Chapter III.

15. Velo, G. and Zwanziger, D., Phys. Rev., 186, 1337 (1969); 188, 2218 (1969); Wightman, A.S., in: Proceedings of the Fifth Coral Gables Conference on Symmetry Principles at High Energy, ed. by T. Gudehus, G. Kaiser, and A. Perlmutter (Gordon and Breach, New York, 1969); Schroer, B., Seiler, R., and Swieca, A., Phys. Rev., D2, 2927 (1970) и другие ссылки в этих работах.

16. Nappi, C.R. and Witten, E., Phys. Rev., D40, 1095 (1989); Argyres, P.C. and Nappi, C.R., Phys. Lett., B224, 89 (1989). Вывод согласованной теории частиц со спином j = 3/2 во внешних полях из теории Калуцы–Клейна см. в работах: Rindani, S.D. and Sivakumar, M . ,

J. Phys. G: Nucl. Phys., 12, 1335 (1986); J. Phys. C: Particles & Fields, 49, 601 (1991).

17. Lü ders, G., Kgl. Danske Vidensk. Selskab. Mat.-Fys. Medd., 28, 5

(1954); Ann. Phys., 2, 1 (1957); Pauli, W., Nuovo Cimento, 6, 204 (1957). Когда Людерс впервые рассмотрел вопрос о том, как связаны инверсии, считалось общепризнанным, что P сохраняется, так что его теорема утверждала, что сохранение C эквивалентно T-инвариантности.

18. Jost, R., Helv. Phys. Acta, 30, 409 (1957); Dyson, F.J., Phys. Rev., 110, 579 (1958). См. также книгу Стритера и Вайтмана [12].