Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

6

Фейнмановские правила

Âпредыдущих главах использование ковариантных свободных полей для построения плотности гамильтониана мотивировалось требованием, чтобы S-матрица удовлетворяла условиям лоренц-инвариантости и кластерного разложения. Если мы построили таким способом плотность гамильтониана, уже не имеет значения, какую форму теории возмущений использовать для вычисления S-матрицы. Результаты будут автоматически удовлетворять указанным условиям в каждом порядке по плотности гамильтониана взаимодействия. Тем не менее, очевидны практи- ческие преимущества использования такого варианта теории возмущений, в котором лоренц-инвариантность и свойства кластерного разложения S-матрицы явно сохраняются на каждом этапе вычислений.

Âтой теории возмущений, которую использовали в 1930-е годы и которая сейчас известна под названием «старой» (мы описали ее в начале раздела 3.5), указанные свойства не выполнялись.

Большим достижением Фейнмана, Швингера и Томонаги в конце 1940-х годов было развитие такой техники теории возмущений для вычисления S-матрицы, в которой на каждом шаге прослеживались лоренц-инвариантность и свойства кластерного разложения.

В этой главе мы опишем диаграммную технику вычислений, впервые предложенную Фейнманом на конференции в Поконо в 1948 году. Фейнман пришел к этим диаграммным правилам, развивая предложенный им подход, основанный на функциональном интеграле. Этот подход будет рассмотрен в гл. 9. Здесь же мы воспользуемся подходом, предложенным в 1949 году Дайсоном 1.

Вплоть до 1970-х годов именно он был основой любого анализа теории возмущений в квантовой теории поля, да и до сих пор этот подход позволяет дать особенно ясное введение в фейнмановские правила *.

6.1. Вывод правил

Исходной для нас является формула для S-матрицы, полу- ченная объединением дайсоновского ряда (3.5.10) с выражением (4.2.2) для состояний свободных частиц:

× TlH (x1). . . H (xN )q a†(p1σ1n1)a† (p2σ2n2 ). . . Φ0 i .

Напоминание: метки р, σ и n отмечают импульсы частиц, их

спин и тип; штрихи относятся к меткам частиц в конечном состоянии; Φ0 — вакуумное состояние свободных частиц; a и а† —

операторы уничтожения и рождения; Т означает хронологическое упорядочивание, располагающее все H (x) в таком порядке, что аргументы x0 уменьшаются слева направо; H (x) — плотность гамильтониана взаимодействия, рассматриваемая как полином по полям и сопряженным полям,

причем каждое слагаемое Hi является произведением определенного числа полей и им сопряженных полей каждого типа. Поле

* Мы используем современную версию функциональный интеграл русского перевода английского термина path intergral, предпочитая ее первоначальным и до сих пор используемым версиям «интеграл по путям» или «интеграл по траекториям». Это отвечает более широкому современному содержанию понятия. — Прим. ред.

частицы типа n, преобразующееся по определенному представлению однородной группы Лоренца (с учетом или без учета пространственных инверсий), дается выражением

yl (x) = å(2p)-3/2 z d3p[ul (p, s, n)a(p, s, n)eip×x

Здесь nc — индекс античастицы типа n, а в показателе exp(±ip×x) компонента p0 равна p2 + m2n . Коэффициентные функ-

öèè ul è vl зависят от свойств поля по отношению к преобразованиям Лоренца и от спина частицы, которая описывается этим полем. Эти функции были вычислены в гл. 5. (Например, в случае скалярного поля коэффициент ul для частицы с энергией Е равен (2Е)−1/2, а для дираковского поля ul è vl - нормированные дираков-

ские спиноры, введенные в разделе 5.5.) Индекс l у поля следует понимать как указатель типа частицы и того представления группы Лоренца, по которому поле преобразуется. Кроме того, в него включается бегущий индекс, отмечающий компоненты поля в данном представлении.

Нет нужды рассматривать отдельно взаимодействия, содержащие производные полей; с нашей точки зрения, производная поля (6.1.3) есть просто другое поле, описываемое той же формулой, но с другими коэффициентами ul è vl. Ниже мы будем делать различие между некоторыми типами частиц, которые мы произвольно будем называть «частицами», например, электроны, протоны, и т. д., и типами частиц, которые будем называть «античастицами» (позитроны, антипротоны и т. д.). Полевые операторы, уничтожающие частицы и рождающие античастицы, будут называться просто «полями»; сопряженные им операторы, уничтожающие античастицы и рождающие частицы, будут называться «сопряженными полями». Конечно, у некоторых типов частиц, вроде фотона и p0-мезона, анти-

частицы тождественны частицам. В этом случае сопряженные поля пропорциональны самим полям.

Начнем перемещать все операторы уничтожения в формуле (6.1.1) направо, используя на каждом шаге соотношения коммутации или антикоммутации:

a(p s n)a† (p¢ s¢ n¢) = ±a† (p¢ s¢ n¢)a(p s n) + d3 (p¢ - p)ds¢sdn¢n , (6.1.4)

348 Глава 6. Фейнмановские правила

д) Спаривание конечной частицы (или античастицы) с квантовыми числами p′, σ′, n′ с начальной частицей (или античастицей) с квантовыми числами p, σ, n дает множитель

е) Спаривание поля ψl(x) â Hi(x) с сопряженным полем ψ†m(y) â

Hj(y) дает множитель *

ãäå ψ+ è ψ − − слагаемые в ψ, которые уничтожают частицы и

рождают античастицы, соответственно:

s

Напомним, что θ(x − y) — ступенчатая функция, равная +1

ïðè x0 > y0 è íóëþ ïðè x0 < y0. Такие ступенчатые функции возникают в (6.1.14) из-за хронологического упорядочивания в (6.1.1); спаривание поля уничтожения ψ+(x) в H (x) с полем рождения ψ+†(y) в H (y) можно учитывать, только если H (x) изначально

находится левее H (y) в формуле (6.1.1), т. е. если x0 > y0. Аналогич-

* Если взаимодействие H (x) записано в нормальной форме, как в (5.1.33), то отсутствует спаривание полей с сопряженными полями в одном и том же операторе взаимодействия. В противном случае необходима некоторая процедура регуляризации для придания смысла величине lm(0).