Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

но, мы учитываем спаривание поля уничтожения ψ−†(y) в H (y) с полем рождения ψ−(x) в H (x), только если H(y) изначально находится левее H (x), т. е. если y0 > x0. (Çíàê ± во втором слагаемом в

(6.1.14) будет объяснен чуть ниже.) Выражение (6.1.14) называется пропагатором и вычисляется в следующем разделе.

S-матрица получается путем перемножения всех этих множителей с учетом дополнительных численных множителей, обсуждаемых ниже, затем интегрирования по x1 . . . xN, суммирования по всем спариваниям и затем по числу взаимодействий каждого типа.

Прежде чем погружаться в детали, удобно описать диаграммный формализм, позволяющий проследить за всеми этими спариваниями.

Правила вычисления S-матрицы удобно сформулировать на языке фейнмановских диаграмм (рис. 6.1). Диаграмма содержит точки, называемые вершинами, причем каждая вершина соответствует одному из операторов Hi(x), и линии, каждая из которых соответствует спариванию операторов рождения и уничтожения. Сформулируем правила более подробно.

а) Спаривание конечной частицы с сопряженным полем в одном из операторов H (x) изображается линией, идущей вверх из вершины, соответствующей данному H (x), и имеющей стрелку, направленную вверх.

б) Спаривание конечной античастицы с полем в одном из операторов H (x) также изображается линией, идущей вверх из вершины, соответствующей данному H (x), но со стрелкой, направленной вниз. (Для частиц типа γ è π0, совпадающих со своими

античастицами, стрелки на линиях не указываются.)

в) Спаривание начальной частицы с полем в одном из операторов H (x) изображается линией, входящей снизу в вершину, соответствующую данному H (x), и имеющей стрелку, направленную вверх.

г) Спаривание начальной античастицы с полем в одном из операторов H (x) также изображается линией, входящей снизу в вершину, соответствующую данному H (x), но имеющей стрелку, направленную вниз.

д) Спаривание конечной частицы или античастицы с начальной частицей или античастицей представляется не связанной ни с какими вершинами линией, проходящей снизу вверх через всю диаграмму, со стрелкой направленной вверх или вниз для частиц и античастиц, соответственно.

е) Спаривание поля в H (x) с сопряженным полем в H (y) представляется линией, соединяющей вершины H (x) и H (y), и имеющей стрелку, направленную от y к x.

Обратим внимание, что стрелки всегда указывают направление движения частицы, и противоположны направлению движения античастицы. (Как отмечено выше, для частиц типа фотона, совпадающих со своими античастицами, стрелки следует опустить.) Направление стрелки в правиле е) совместимо с этим соглашением, так как сопряженное поле в Hj(y) может либо рождать частицу, уничтожаемую полем в Hi(x), либо уничтожать античастицу, рождаемую этим полем. Заметим также, что поскольку каждое поле или сопряженное поле в Hi(x) должно с чем-нибудь спариться, полное число линий в вершине типа i, соответствующей слагаемому Hi(x) в (6.1.2), в точности равно полному числу полей или сопряженных полей в Hi(x). При этом число линий со стрелками, направленными в вершину или из нее, равно, соответственно, числу полей или сопряженных полей в соответствующем члене взаимодействия.

Чтобы вычислить вклад в S-матрицу данного процесса

âданном порядке Ni по каждому из членов взаимодействия Hi(x)

â(6.1.2), нужно проделать следующие операции.

1.Следует нарисовать все фейнмановские диаграммы, содер-

жащие Ni вершин каждого типа i. Эти диаграммы должны иметь линии, входящие в них снизу, и отвечающие каждой частице и

античастице в начальном состоянии, линии, выходящие вверх и отвечающие каждой частице или античастице в конечном состоянии, и такое число соединяющих вершины внутренних линий, чтобы к каждой вершине подсоединялось нужное число линий. Стрелки на линиях выбираются по указанным выше правилам в направлении либо вверх, либо вниз. Каждая вершина помечается индексом типа взаимодействия i и пространственно-временной координатой xμ. Каждая внутренняя или внешняя линия помечается

на том конце, который соединен с вершиной, индексом типа поля l (что соответствует полям ψl(x) èëè ψl†(x), рождающим или уничто-

жающим частицу или античастицу в этой вершине). Кроме того, каждая внешняя линия помечается на конце, откуда она входит в диаграмму или выходит из нее, квантовыми числами p, σ, n èëè p′, σ′, n′ начальной или конечной частицы (или античастицы).

2. Каждой вершине типа i следует сопоставить множитель −i (он возникает из множителя (−i)N в (6.1.1)) и множитель gi

(константа связи, на которую умножается произведение полей в Hi(x)).* Каждой линии, выходящей вверх из диаграммы, сопоставляется множитель (6.9.9) или (6.9.10) в зависимости от направления стрелки на линии. Аналогично, каждой линии, входящей в диаграмму снизу, сопоставляется множитель (6.1.11) или (6.1.12), опять же, в зависимости от направления стрелки. Каждой линии, проходящей снизу вверх насквозь через диаграмму. сопоставляется множитель (6.1.13). Наконец, каждой внутренней линии, соединяющей две вершины, сопоставляется множитель (6.1.14).

3.Следует произвести интегрирование произведения всех этих множителей по координатам x1, x2, . . . всех вершин.

4.Результаты, полученные таким образом для каждой фейнмановской диаграммы, следует сложить. Полное выражение ряда теории возмущений для S-матрицы получается сложением вкладов от каждого порядка теории возмущений по каждому из типов взаимодействий (реально мы ограничиваемся тем порядком, который в состоянии вычислить в данный момент).

Заметим, что мы не включили в эти правила множитель 1/N!

из (6.1.1), так как хронологически упорядоченное произведение в (6.1.1) является суммой по N! перестановкам координат x1x2 . . .xN, дающим одинаковый вклад в окончательный результат. Чтобы понять это другим способом, заметим, что фейнмановская диаграмма с N вершинами есть одна из N! идентичных диаграмм, отличающихся только перестановками меток в вершинах. Учет этого дает множитель N!, сокращающийся с 1/N! в (6.1.1). (Из этого правила существуют исключения, обсуждаемые ниже.) По этой причине далее мы не будем рассматривать более одного набора фейнмановских диаграмм, отличающихся только перестановкой меток в вершинах.

В ряде случаев возникают добавочные комбинаторные множители или знаки, которые следует учитывать в отдельных диаграммах.

* Мы сохранили авторские обозначения. Надеемся, что читатель в дальнейшем не перепутает индекс i, нумерующий тип вершин взаимодействия, с мнимой единицей, входящей как множитель в каждую вершину взаимодействия. —

Ïðèì. ïåð.

5. Предположим, что взаимодействие Hi(x) содержит (помимо других полей и сопряженных полей) произведение M одинаковых полей. Пусть каждое из этих полей спаривается со своим сопряженным полем в другой вершине взаимодействия (причем другой для каждого спаривания), а также в начальном или конечном состоянии. Первое из сопряженных полей можно спарить с любым из М тождественных полей в Hi(x), второе — с любым из оставшихся М−

1 тождественных полей, и так далее, что приводит к дополнительному множителю M! Для компенсации этого множителя принято определять константу связи gi так, чтобы в каждом Hi(x), содержащем М тождественных полей (или сопряженных полей), явно возникал множитель 1/M!. Например, взаимодействие M-ого порядка по скалярному полю ϕ(x) следует записывать как gϕM/M!. (В более

общем случае, часто выписывают явный множитель 1/M!, когда взаимодействие содержит сумму М произведений полей из одного мультиплета внутреннней группы симметрии, или когда по этой или любой другой причине константа связи полностью симметрична или антисимметрична относительно перестановки М бозонных или фермионных полей.)

Однако такое сокращение множителя М! не всегда бывает полным. Например, рассмотрим фейнмановскую диаграмму, в которой М тождественных полей в одном взаимодействии Hi(x) спариваются с М соответствующими сопряженными полями в единственном другом взаимодействии Hj(y) (рис. 6.2). Следуя изложенному выше, мы находим только М! разных спариваний (поскольку нет никакой разницы, какое из сопряженных полей мы назовем первым, вторым и т. д.). В результате, сокращается только один из двух множителей 1/М! в разных взаимодействиях. В этом случае лишний множитель 1/М! следует «руками» включать во вклад такой диаграммы.

Другие комбинаторные множители возникают в ситуации, когда перестановки вершин не влияют на диаграмму. Выше отмеча- лось, что множитель 1/N! в ряде (6.1.1) обычно сокращается из-за суммирования N! диаграмм, отличающихся только переобозначе- нием индексов у N вершин. Однако такое сокращение неполно, если при переобозначении вершин мы не получаем новой диаграммы. Чаще всего это происходит при вычислении матричных элементов S-матрицы между вакуумными состояниями в теории с квадратич- ным взаимодействием H = ψl†Mll′ψl′, где М может зависеть от