Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Рис. 6.2. Пример диаграммы, вклад которой в S-матрицу содержит дополнительный комбинаторный множитель. Если, например, в вершине взаимодействия имеются три множителя, содержащих какое-то поле (наряду с другими полями), то в гамильтониан взаимодействия обычно включают коэффициент 1/3!, чтобы сократить множители, возникающие от сумм по способам спаривания этих полей с сопряженными им полями в других вершинах. Однако в приведенной диаграмме имеются два таких коэффициента 1/3! и лишь 3! различных спариваний, поэтому остается лишний множитель 1/3!

Рис. 6.3. Диаграмма восьмого порядка амплитуды перехода вакуум–ваку- ум, когда частицы взаимодействуют только с внешним полем. В этой диаграмме внешнее поле представлено волнистыми линиями. Существует 7! таких диаграмм, отличающихся только переобозначением вершин, причем те переобозначения, которые приводят к простому повороту кольца, не считаются различными. Поэтому множитель 1/8! в формуле Дайсона (6.1.1) сокращается не полностью, и остается множитель 1/8

внешних полей. (Физическое значение таких диаграмм вакуумных флуктуаций детально обсуждается в т. II). Фейнмановская диаграмма N-ого порядка по H есть замкнутое кольцо с N углами (рис. 6.3). В этом случае имеется только (N−1)! разных диаграмм, поскольку

перестановка индексов, передвигающая каждый из них к следую-

щей вершине по кольцу, приводит к той же диаграмме. Поэтому подобная диаграмма должна приводить к множителю

6. В теориях с фермионными полями использование формул (6.1.4)-(6.1.6) для перемещения операторов уничтожения и рождения направо и налево приводит к появлению дополнительных знаков «минус» во вкладах разных спариваний. Конкретно, мы получа- ем отрицательный знак каждый раз, когда перестановка операторов в (6.1.1), необходимая для того, чтобы собрать все спариваемые операторы рядом друг с другом (помещая при этом операторы уничтожения слева от спариваемых с ними операторов рождения), включает нечетное число перестановок фермионных операторов. (Это происходит потому, что при вычислении вклада конкретного спаривания, можно сначала переставить все операторы в (6.1.1) так, чтобы каждый оператор уничтожения оказался слева от спариваемого с ним оператора рождения, игнорируя при этом все коммутаторы или антикоммутаторы с неспариваемыми операторами, а затем заменить каждое произведение спаренных операторов на их коммутатор или антикоммутатор.) Из этого правила немедленно вытекает появление относительного отрицательного знака между двумя слагаемыми в выражении (6.1.14) для фермионного пропагатора. Какая бы перестановка не переводила содержащую операторы уничтожения часть ψ+(x) поля в H (x) налево от содержащей операторы рождения части ψ+†(y) сопряженного поля в

H (y), перестановка, переводящая содержащую операторы уничтожения часть ψ–†(x) сопряженного поля налево от содержащей операторы рождения части ψ–(y) поля включает одну лишнюю

перемену мест фермионных операторов, что и приводит к отрицательному знаку перед вторым слагаемым в (6.1.4) для фермионов.

Наконец, отрицательные знаки могут возникать во вкладе всех фейнмановских диаграмм. Например, рассмотрим теорию, в которой единственно возможное взаимодействие фермионов имеет вид:

ãäå glmk — произвольные константы, ψl(x) — совокупность комплексных фермионных полей, а ϕm(x) — совокупность действительных

бозонных (не обязательно скалярных) полей. (Не только квантовая электродинамика, но и вся «стандартная модель» слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий имеет фермионные взаимодействия, которые можно привести к указанному виду.) Рассмотрим сначала процесс фермион-фермионного рассеяния 12 → 1′2′ âî

втором порядке по H. В слагаемом второго порядка в (6.1.1) фермионные операторы возникают в следующем порядке (сделаны оче- видные упрощения формы записи):

a(2′)a(1′)ψ† (x)ψ(x)ψ† (y)ψ(y)a† (1)a† (2) . (6.1.19)

В данном порядке существуют две связные диаграммы, отве- чающие спариваниям

[a(2′)ψ† (x)][a(1′)ψ† (y)][ψ(y)a† (1)][ψ(x)a† (2)] , (6.1.20)

[a(1′)ψ† (x)][a(2′)ψ† (y)][ψ(y)a† (1)][ψ(x)a† (2)] (6.1.21)

(рис. 6.4). Для перехода от (6.1.19) к (6.1.20) необходима четная перестановка фермионных операторов. (Например, можно переставить ψ(x) направо с тремя операторами, а затем переставить a(1′)

через один оператор направо.) Таким образом, во вкладе спаривания (6.1.20) не возникает никакого дополнительного знака «минус». Само по себе это не имеет значения; общий знак S-матрицы не влияет на вероятности переходов и в любом случае зависит от соглашений о знаках для начальных и конечных состояний. Сущест-

Рис. 6.4. Связные диаграммы второго порядка для фермион–фермионного рассеяния в теории с взаимоденйствием (6.1.18). Сплошные линии соответствуют фермионам, пунктирные — нейтральным бозонам. Вклады этих диаграмм отличаются знаком, который возникает от дополнительной перестановки фермионных операторов в спариваниях, соответствующих второй диаграмме

венно то, что вклады спариваний (6.1.20) и (6.1.21) имеют противоположный знак. Легче всего это видно, если заметить, что единственной разницей между двумя спариваниями является перестановка двух фермионных операторов a(1′) è a(2′). На самом деле, относи-

тельный знак «минус» требуется статистикой Ферми: при таком знаке амплитуда рассеяния становится антисимметричной относительно перестановки частиц 1′ è 2′ (èëè 1 è 2).

Однако не следует думать, что все знаки можно так просто связать с антисимметрией конечных или начальных состояний даже в низшем порядке теории возмущений. Чтобы стало ясно, о чем идет речь, рассмотрим фермион-антифермионное рассеяние 12c → 1′2′c во втором порядке теории возмущений по тому же

взаимодействию (6.1.18). Фермионные операторы следующим образом входят в слагаемое второго порядка в (6.1.1):

a(2′c )a(1′)ψ† (x)ψ(x)ψ† (y)ψ(y)a† (1)a† (2c ) . (6.1.22)

В этом порядке имеются две диаграммы Фейнмана (рис. 6.5), отве- чающие спариваниям:

[a(2′c )ψ(x)][a(1′)ψ† (x)][ψ(y)a† (1)][ψ† (y)a† (2c )], (6.1.23)

[a(2′c )ψ(x)][a(1′)ψ† (y)][ψ(y)a† (1)][ψ†(x)a† (2c )] . (6.1.24)

Рис. 6.5. Связные диаграммы второго порядка для фермион-антифермион- ного рассеяния в теории с взаимоденйствием (6.1.18). Сплошные линии соответствуют фермионам или антифермионам в зависимости от направления стрелок, пунктирные — нейтральным бозонам. Вклады этих диаграмм снова отличаются знаком, который возникает от дополнительной перестановки фермионных операторов в спариваниях, соответствующих второй диаграмме

При переходе от (6.1.22) к (6.1.23) требуется совершить четную перестановку фермионных операторов (например, переместить ψ(x) через два оператора налево, а ψ†(y) через два оператора направо),

так что во вкладе от спаривания (6.1.23) не возникает никакого лишнего знака «минус». С другой стороны, переход от (6.1.22) к (6.1.24) требует нечетной перестановки фермионных операторов (такой же, как в (6.1.23), и дополнительной перемены местами ψ†(x) c ψ†(y)). Поэтому вклад от этого спаривания входит с до-

полнительным отрицательным знаком *.

Дополнительные знаки возникают при рассмотрении вкладов более высоких порядков. В теориях рассматриваемого здесь типа, где все взаимодействия фермионов имеют вид (6.1.18), фермионные линии в произвольной фейнмановской диаграмме образуют либо цепочки линий, проходящих через всю диаграмму, с произвольным числом взаимодействий с бозонными полями (рис. 6.6), либо образуют фермионные петли типа показанной на рис. 6.7.

Рассмотрим результат добавления к фейнмановской диаграмме любого процесса фермионной петли с М вершинами. Это соответствует спариванию фермионных операторов:

[ψ(x1)ψ(x2 )] [ψ(x2 )ψ(x3 )] . . . [ψ(xM )ψ(x1)] . (6.125)

С другой стороны, эти операторы возникают в (6.1.1) в следующем порядке:

ψ(x1)ψ(x1)ψ(x2 )ψ(x2 ). . . ψ(xM )ψ(xM ) . (6.1.26)

* На самом деле, появление этого знака имеет некоторую связь со статистикой Ферми. Одно и то же поле может уничтожать частицу или рождать античастицу, так что существует соотношение, известное как «кросс-сим- метрия» между процессами, в которых начальные частицы или античастицы обмениваются местами с конечными античастицами или частицами. В частности, амплитуды процесса 12c → 1′2′c связаны с амплитудами кросс-процес- са 12′ → 1′2; два спаривания (6.1.23) и (6.1.24) соответствуют двум диаграммам, отличающимся перестановкой 1 и 2′ (èëè 1′ и 2), так что антисимметрия

амплитуды рассеяния относительно перестановки начальных (или конечных) частиц естественно требует наличия знака минус в относительном вкладе этих спариваний. Однако кросс-симметрия не является обычной симметрией (она включает аналитическое продолжение по кинематическим переменным), так что для произвольных процессов ее трудно использовать с какой-то определенной точностью.