Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Рис. 6.6. Связные диаграммы второго порядка для бозон-фермионного рассеяния в теории с взаимодействием (6.1.18). Прямые линии — фермионы, пунктирные — нейтральные бозоны

Рис. 6.7. Связная диаграмма низшего порядка для бозон-бозонного рассеяния в теории с взаимодействием (6.1.18). Подобные диаграммы с фермионными петлями приводят к дополнительному знаку «минус», возникающему от перестановок спариваемых фермионных полей

Чтобы перейти от (6.1.26) к (6.1.25), необходимо совершить нечетную перестановку фермионных операторов (передвинуть ψ(x1) направо через 2М−1 оператор). Поэтому вклад каждой такой фермионной

петли сопровождается дополнительным отрицательным знаком.

Эти правила приводят к полной S-матрице, включающей вклады от процессов, в которых взаимодействуют далеко разнесенные в пространстве и времени различные кластеры частиц. Как обсуждалось в гл. 4, для вычисления той части S-матрицы, которая не содержит указанных вкладов, нужно рассматривать только связные фейнмановские диаграммы. В частности, это исключает проходящие насквозь через диаграмму без взаимодействия линии, которым соответствуют множители (6.1.13).

причем последнее слагаемое означает вычитание предыдущего выражения с перестановкой частиц 1′ è 2′ (или 1 и 2). В такой теории

не существует диаграмм второго порядка для бозон-бозонного рассеяния. Простейшими являются диаграммы четвертого порядка типа показанных на рис. 6.7.

Более конкретные примеры использования формул (6.1.27) и (6.1.28) будут приведены в разделе 6.3, после того, как мы вычислим пропагаторы и перейдем в импульсное пространство.

В предыдущем примере все три поля в гамильтониане взаимодействия (6.1.18) различны. Полезно рассмотреть пример также с трилинейным взаимодействием, но в котором все три поля одинаковы или, по крайней мере, входят симметричным образом.

Теория II

Пусть плотность гамильтониана взаимодействия есть сумма слагаемых, трилинейных по действительным бозонным полям ϕl(x):

связи.

Пусть мы хотим рассмотреть процесс рассеяния 12 → 1′2′ âî

втором порядке по этому взаимодействию. К каждой из двух вершин должны быть подсоединены по две из четырех внешних линий. (Единственная другая возможность − в том, чтобы к одной

вершине была подсоединена одна из внешних линий, а три другие были подсоединены ко второй вершине. Но в этом случае у вершины с тремя внешними линями не останется больше линий, чтобы соединить ее с первой вершиной, т. е. получится несвязная диаграмма.) Третья линия при каждой вершине должна соединять вершины друг с другом. Имеются три диаграммы такого типа (рис. 6.8), отличающиеся тем, какая внешняя линия подсоединена к той же вершине, что и линия 1. Это могут быть линии 2, 1′ èëè 2′.

Следуя сформулированным правилам, запишем вклад в S-матрицу от этих трех диаграмм:

ãäå F(x − y) − пропагатор скалярного поля, вычисленный в сле-

дующем разделе. В этой теории не существует вкладов третьего или любого нечетного порядка по H (x).

6.2. Вычисление пропагатора

Перейдем к вычислению пропагатора (6.1.14). Пропагатор — существенная составляющая фейнмановских правил, возникающая в результате спаривания поля ψl(x) с сопряженным полем ψm†(y).

Подставляя (6.1.15) и (6.1.16) в (6.1.14) и пользуясь соотношениями коммутации и антикоммутации для операторов уничтожения и рождения, находим:

−i lm (x, y) = θ(x − y)(2π)-3/2 z d3på ul (pσ n)um* (pσ n)eip×(x- y)

Вычисляя в гл. 5 коммутаторы и антикоммутаторы, мы показали, что

s

ãäå Plm(p,ω) − полином по р и ω. (Здесь, как и в (6.2.1), верхние и

нижние знаки относятся, соответственно, к бозонным и фермионным полям.) Например, если ψl(x) è ψm†(y) − скалярные поля ϕ(x) è ϕ(y) частицы спина 0, то

Åñëè ψl(x) è ψm†(y) − дираковские поля частицы спина 1/2, то