Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 7038

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

6.2. Вычисление пропагатора

369

íîé ∂λϕ(x) скалярного поля. Для спаривания этого поля со скаляром ϕ†(y) полином Р(р) на массовой оболочке равен

Pλ (p) = ipλ ,

(6.2.23)

в то время, как спаривание ∂λϕ(x) ñ ∂ηϕ†(x) приводит к полиному

Pλ, η(p) = pλpη .

(6.2.24)

Для произвольных 4-импульсов qμ вне массовой поверхности ковариантные полиномы получаются подстановкой qμ вместо pμ â

формулы (6.2.23) и (6.2.24). Полином Pl(q) уже линеен по q0, так что в этом случае не возникает никакой разницы между Pl(q) è Pl(L)(q). Однако в случае (6.2.24) разница есть:

P(L)

= q

λ

q

η

− (q2

− q2 − m2 )δ0

δ0

= P

(q) + (q2

+ m2 )δ0

δ0

,

(6.2.25)

λ,η

0

λ

η

λ,η

λ

η

поэтому пропагатор равен

X

q

λqηeiq×(x-y)

λ,η(x, y) =

(2π)−4 Y d4q

+ δ0λδ0ηδ4 (x − y) .

(6.2.26)

2 + m2 − iε

Z

q

Как и выше, нековариантные вклады от второго слагаемого можно сократить, добавив к взаимодействию нековариантное слагаемое

Hнеков

(x) =

1

[J0 (x)]2 .

(6.2.27)

2

ãäå Jμ(x) — в данном случае ток, на который умножается ∂μϕ(x) â

ковариантной части H(x).

Должно быть ясно, что (по крайней мере для массивных частиц) вклады нековариантных частей пропагатора всегда могут быть сокращены описанным способом путем добавления нековариантных локальных слагаемых в плотность гамильтониана. Это происходит потому, что числитель Plm(L)(q) в пропагаторе должен равняться ковариантному полиному Plm(q), когда qμ находится на

массовой оболочке, поэтому разность между Plm(L)(q) è Plm(q) должна содержать множитель q2 + m2. Этот множитель сокращает знаменатель (q2 + m2 − iε) во вкладе этой разности в (6.2.18),

370

Глава 6. Фейнмановские правила

поэтому выражение (6.2.18) всегда равно сумме ковариантного слагаемого и слагаемого, пропорционального дельта-функции d4(x - y) или ее производным. Вклад последнего слагаемого можно

компенсировать добавлением во взаимодействие слагаемого, квадратичного по токам, с которыми связаны спариваемые поля, или по их производным.

Далее мы будем молчаливо предполагать, что подобное слагаемое уже было включено во взаимодействие, и использовать ковариантный полином Plm(q) в пропагаторе (6.2.18), опуская индекс L.

Может показаться, что такая процедура достаточно произвольна. К счастью, в обсуждаемом в следующей главе канониче- ском формализме те нековариантные слагаемые в плотности гамильтониана, которые нужны для сокращения нековариантных добавок в пропагаторах, возникают автоматически. На самом деле, это является одной из причин введения канонического формализма

* * *

Прежде чем завершить этот раздел, полезно отметить некоторые другие определения пропагатора, эквивалентные (6.2.1), которые часто встречаются в литературе. Во-первых, взяв среднее по вакууму от (6.1.14), имеем:

-iDlm

(x, y) = q(x - y) [yl+ (x), ym+† (y)]m

0

± q(y - x) [ym−† (y), yl− (x)]m

(6.2.28)

.

0

(Здесь áAB...ñ0 означает среднее по вакууму (F0, AB . . . F0).) Êàê ψl+ (x) , òàê è ψm−†(y) при действии на вакуум дают нуль, поэтому

реально в пропагатор дает вклад только одно слагаемое в каждом коммутаторе или антикоммутаторе:

-iDlm

(x, y) = q(x - y) yl+ (x), ym+† (y) ± q(y - x)

ym−† (y), yl− (x)

. (6.2.29)

0

0

Далее, y−† è y+ будут давать нуль,

действуя на

вакуум

справа, а y− è y+† будут делать то же самое слева, поэтому везде в (6.2.29) можно заменить y+ è y− на полное поле y = y+ + y−:

6.3. Правила в импульсном представлении

371

-iDlm (x, y) = q(x - y) yl (x), y†m

(y) ± q(y - x) y†m (y), yl (x)

.

(6.2.30)

0

0

Часто эту формулу записывают в виде:

-iDlm (x, y) =

T{yl (x)y†m (y)} ,

(6.2.31)

0

где Т — хронологическое произведение, определение которого распространено * теперь на все поля с учетом знака «минус» для любой нечетной перестановки фермионных операторов.

6.3. Правила в импульсном представлении

Изложенные в разделе 6.1. фейнмановские правила указывают, как вычислить вклад в S-матрицу данной диаграммы N-го порядка, который представляется в виде интеграла по N пространственновременным координатам от произведения зависящих от этих координат множителей. Линии конечной частицы (или античастицы) с импульсом p¢μ, выходящей из вершины с пространственно-времен- ной координатой xμ, отвечает множитель, пропорциональный exp(- ip¢×x). Линии начальной частицы с импульсом pμ, входящей в вершину с координатой xμ, отвечает множитель exp(+ip×x). В разделе 6.2

мы показали, что множитель, отвечающий внутренней линии, идущей от точки x к точке y, можно записать как интеграл Фурье по 4- импульсам qμ вне массовой поверхности, причем под интегралом стоит множитель exp(iq×(x - y)). Величину qμ можно понимать как 4-

импульс, текущий вдоль внутренней линии в направлении стрелки от y к x. Таким образом, интеграл по пространственно-временной координате в каждой вершине приводит к множителю

(2p)4 d4 (Sp + Sq - Sp¢ - Sq¢) ,

(6.3.1)

ãäå åp¢ è åp означают полный 4-импульс всех конечных или начальных частиц, выходящих или входящих в вершину, а åq¢ è åq обозна-

чает полный 4-импульс всех внутренних линий со стрелками,

* Это не противоречит предыдущему определению хронологически упорядоченных произведений плотностей гамильтониана в гл. 3, так как эти плотности могут содержать только четное число фермионных полей.

372

Глава 6. Фейнмановские правила

направленными от вершины и к вершине, соответственно. Конечно, вместо интегралов по xμ теперь необходимо брать интегралы по фурьепеременным qμ для каждой из внутренних линий.

Эти соображения приводят к новому набору фейнмановских правил для вычисления вклада в S-матрицу в виде интегралов по импульсным переменным (рис. 6.9).

1. Следует нарисовать все фейнмановские диаграммы желаемого порядка, как описано в разделе 6.1. Однако вместо того, чтобы помечать каждую вершину пространственно-временной координатой, нужно пометить каждую внутреннюю линию 4-импульсом вне массовой поверхности, текущим, по соглашению, в направлении стрелки (или в любом направлении для линий нейтральных частиц без стрелок).

2. Каждой вершине типа i следует сопоставить множитель

−i(2π)4 g

δ4 (Σp + Σq − Σp′ − Σq′) ,

(6.3.2)

i

где суммы по импульсам имеют тот же смысл, что и в (6.3.1). Дельтафункция обеспечивает сохранение 4-импульса в любой точке диаграммы.

Каждой внешней линии, выходящей вверх из диаграммы, сопоставляется множитель (2π)−3/2 ul*′ (p′σ′n′) или множитель (2π)−3/2 vl (p′σ′n′)

в зависимости от направления стрелки вверх или вниз. Каждой внешней линии, входящей снизу в диаграмму, сопоставляется либо множитель (2π)−3/2 ul (p σ n) , либо множитель (2π)−3/2 vl* (p σ n), также в

зависимости от направления стрелки вверх или вниз. Каждой внутренней линии, концы которой помечены индексами l и m, причем стрелка направлена от m к l, и которая несет 4-импульс qm, сопоставляется множитель, равный подынтегральному выражению в интеграле фурье-представления (6.2.18) для i lm(x,y):

−i(2π)−4 Plm (q)

/ (q

2

+

2

−

ε

) .

(6.3.3)

ml

i

Напомним, что для скаляров или антискаляров с 4-импульсом q величины u и v равны просто (2q0)-1/2, а полином P(q) равен единице. Для дираковских спиноров с 4-импульсом р и массой М величины u и v равны нормированным дираковским спинорам, описанным в разделе 5.5, а полином Р(р) равен матрице (−iγμpμ + M)β.

6.3. Правила в импульсном представлении

373

π

−3/2 u*

(p

′σ′n′

(2π)

−3/2 v

(p′σ′n′)

(2 )

l

)

l

a

á

(2π)−3/2 ul (pσn)

(2π)−3/2 vl* (pσn)

â

ã

ä

å

−i

Plm (q)

(2π)4

q2 + m2

− iε

δ3

(p′ − p)δσ′σδn′n

l

Рис. 6.9. Графическое изображение спариваний операторов при вычислении S-матрицы в импульсном представлении. Выражения справа — те множители, которые отвечают каждой линии фейнмановской диаграммы в импульсном представлении

3.Произведение всех указанных множителей интегрируется по 4-импульсам всех внутренних линий и суммируется по всем полевым индексам l, m и т. д.

4.Результаты, полученные таким образом для каждой фейнмановской диаграммы, следует сложить.

Смотрите также файлы