Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 7013

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

374

Глава 6. Фейнмановские правила

Могут понадобиться дополнительные комбинаторные множители и связанные с фермионами знаки; соответствующие правила перечислены в пунктах 5 и 6 раздела 6.1. Примеры использования этих правил мы приведем в конце раздела.

Каждой внутренней линии соответствует 4-импульс, по которому проводится интегрирование. Однако многие из этих интегрирований снимаются дельта-функциями, отвечающимис вершинам. Так как энергия и импульс сохраняются для каждой связной части фейн-мановской диаграммы по-отдельности, то в диаграмме с С связными частями останется С дельта-функций. Отсюда в диаграмме с I внут-ренними линиями и V вершинами число независимых 4- импульсов, не зафиксированных дельта-функциями, равно I − (V −

C). Очевидно, этому же равно число L независимых петель,

L = I − V + C,

(6.3.4)

которое определяется как максимальное число внутренних линий, которые можно разрезать, оставляя связной каждую связную часть полной фейнмановской диаграммы, поскольку любым таким и только таким внутренним линиям можно приписать независимый 4-им- пульс. Можно считать, что независимые импульсные переменные характеризуют импульсы, циркулирующие в каждой петле. В ча- стности, древесная диаграмма не содержит петель. В такой диаграмме после учета всех дельта-функций не остается интегралов по импульсам.

Например, в теории с взаимодействием (6.1.18) матричный элемент (6.1.27) фермион−бозонного рассеяния согласно правилам

Фейнмана в импульсном представлении будет иметь вид

Sp′σ′ n′ p′

σ′ n′

,p σ

n

p

σ

n

=

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

=

å

(−i)2 (2π)8g

g u*

(p′σ′ n′ )u

(p σ

n )

l′m′k′

lmk l′

1 1 1

l

1 1

1

k'l′m′klm

F

× z d4qG −

H

i(2π)

−4

Pm′m (q)

I

q

2

2

J

+ mm

− iε K

× (2π)

−6 [u*

(p′ σ′ n′ )u

k

(p

σ

2

n

2

)δ4

(q

− p

− p

)δ4 (p

+ p

− q)

k′

2 2 2

2

1′

2′

1

2

+ u* (p′ σ′ n′ )u

k′

(p

σ

2

n

2

)δ4 (p

− p

+ q)δ4 (p

− p

− q)],

k

2 2 2

2

2

1′

1

2′

где индексы 1 и 2 относятся к фермионам и бозонам, соответственно.

6.3. Правила в импульсном представлении

375

Интеграл по импульсам в данном случае тривиален, так что

S

p′

σ′ n′

, p σ

n p

σ

n

= i(2π)−2 δ4 (p

+ p

− p

− p

)

p′σ′ n′

2

2

1

2

1′

2′

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

×

å

g

g u*

(p′σ′ n′ )u

(p σ

n )

l′m′k′

mlk

l′

1 1 1

l

1 1

1

k'l′m′klm

L

Pm′m (p1 + p2 )

× M

u*

(p′ σ

′ n′ )u

(p

σ

n

)

k

2

2

M

(p

+ p )2 + m2

− iε

k′

2

2 2

2

(6.3.5)

N

1

2

m

+

Pm′m (p1 − p2′ )

u* (p′

σ′ n′ )u

σ

O

k′

(p

n

)P .

− p

)2 + m2

− iε

(p

k

2 2 2

2

2

2

P

1

2′

m

Q

Аналогично, матричный элемент

(6.1.28) фермион−фермион-

ного рассеяния в той же теории равен

S

p′

σ′ n′

,p

σ

n

p

σ

n

= i(2π)

−2 δ4 (p

+ p

− p

− p

)

p′σ′ n′

2

1

2

1′

2′

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

Pk'k (p1 − p1′ )

×

å

gm′mk′gl′lk

(p

− p

)2 + m2

− iε

(6.3.6)

k'l′m′klm

1

1′

k

× u*

(p′

σ′ n′ )u* (p′σ′ n′ )u

m

(p

2

σ

2

n

2

)u

(p σ n )

− [1′ 2′] .

m′

2

2 2

l′

1 1 1

l

1 1 1

Из вида этих результатов вытекает необходимость более компактных обозначений. Можно определить фермион-бозонную матрицу констант связи

[Γk ]lm ≡ glmk .

(6.3.7)

Матричные элементы (6.3.5) и (6.3.6) для фермион-бозонного и фермион-фермионного рассеяния соответственно переписываются в матричных обозначениях следующим образом:

S

σ′ n′

,p σ

n

p

σ

n

= i(2π)

−2 δ4 (p

+ p

− p′

− p′ )

p′σ′ n′ p′

2

1

2

1

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

LF

P(p

+ p )

I

×

å MG

u† (p′σ′ n′ )Γ

1

2

Γ

u(p σ

n )

2

2

1 1 1

k′

(p1 + p2 )

+ M

− iε

k

1 1 1

J

k′k MH

K

N

× u*

(p′

σ′ n′ )u

k

(p

σ

2

n

2

)

k′

2

2 2

2

F

P(p

− p

)

I

(6.3.8)

+

G

u† (p′σ′ n′ )Γ

1

2′

Γ

u(p σ

n )

2

2

1 1 1

k′

(p1 − p2′ )

+ M

− iε

k

1 1 1

J

H

K

×u*

(p′ σ′ n′ )u

k′

(p

σ

2

n

2

)O,

k

2

2 2

2

P

Q

376 Глава 6. Фейнмановские правила

S

p′ σ′ n′ ,p σ

n

p

σ

n

= i(2π)−2 δ4

(p

+ p − p

− p

)

p′σ′ n′

2

1

2

1′

2′

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

× å

Pk′k (p1 − p1′ )

(6.3.9)

(p

− p

)2

+ m2

− iε

k′k

1

1′

k

×

d

u† (p′

σ′ n′ )Γ

u(p

2

σ

2

n

2

)

i d

u† (p′σ′ n′ )Γ

u(p σ n )

i

− [1′ 2′],

2 2

2

k′

1 1 1

k

1 1 1

ãäå M2

è

m2

—

диагональные массовые

матрицы

фермионов

и бозонов в формулах (6.3.8) и (6.3.9). Общее правило состоит в том, что при использовании матричных обозначений следует выписывать коэффициентные функции, матрицы констант связи и пропагаторы в порядке, который определяется движением вдоль линий против направления, указанного стрелками. В тех же обозначениях S-матрица для бозон−бозонного рассеяния в этой теории будет

даваться суммой однопетлевых диаграмм, показанных на рис. 6.7:

S

σ′ n′

,p σ

n

p

σ

n

= −

(2π)−6 δ4 (p

+ p − p

− p

)

p′σ′ n′ p′

2

1

2

1′

2′

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

×

å

u*

′ (p′ , σ′

, n′ )u*

′

(p′

, σ′

, n′ )u

(p

, σ

, n )u

(p

2

, σ

2

, n

2

)

k1

1 1 1

k2

2 2 2

k1

1 1

1

k2

k k k′k′

1

2

1

2

(6.3.10)

X

R

P(q)

P(q + p1′ )

×

Y d

4q TrSΓk′

Γk′

+ M2 − iε

Z

T

2 q2

1 (q + p1′ )2 + M2 − iε

P(q

+ p

− p )

P(q − p

)

U

|

× Γ

1′

1

Γ

2′

V

+ L,

+ p

− p )2

+ M2 − iε

)2 + M2

k1 (q

k2 (q − p

− iε |

1′

1

2′

W

где многоточие в конце означает слагаемые, получающиеся перестановкой бозонов 1′, 2′ и 2. Знак минус перед всем выражением

справа связан с числом фермионных петель.

Отметим, что после снятия интегрирований с помощью дель- та-функций остается только один интеграл по импульсам, как и должно быть для диаграммы с одной петлей. В гл. 11 мы увидим, как вычисляются подобные интегралы по импульсам.

Приведем еще один конкретный пример. Рассмотрим теорию, в которой дираковское спинорное поле ψ(x) массой М взаимодействует с псевдоскалярным полем ϕ(x) массой m, причем гамильтониан

6.3. Правила в импульсном представлении

377

взаимодействия имеет вид − ig ψγ 5ψ ϕ. (Множитель −i включен для

того, чтобы гамильтониан взаимодействия был эрмитовым при действительных константах связи g.)

Напомним, что для скаляра полином Р(q) равен единице, а для спинора он равен [−iγ μqμ + M] β. Кроме того, множитель u для скаляра с энергией Е равен (2Е)−1/2, а для спинора u есть обычным

образом нормированный дираковский спинор, рассмотренный в разделе 5.5.

Из формул (6.3.8)–(6.3.10) в низшем порядке получаем:

S

p′σ′ p′ ,p σ

p

= −i(2π)−2 g2 (4E′ E

2

)−1/2 δ4 (p

+ p

− p

− p

)

2

2

1

2

1′

2′

1

1

2

1

1

×

LF

σ

γ

−iγ μ (p1 + p2 )μ + M

γ

u(p σ

I

M

u(p′

′ )

)

5 (p

+ p )2

+ m2 − iε

MG

1

1

5

1 1

J

NH

1

2

K

F

−iγ

μ

(p

− p

)μ

+ M

I O

+

σ′ )γ

1

2′

γ

u(p σ

P

G

u(p′

)

,

(p − p

+ m2

− iε

1 1

5

)2

5

1 1

J P

H

1

2′

K Q

(фермион-бозонное рассеяние);

S

p′σ′ p′

σ

′ ,p σ

p

σ

=

i(2π)−2 g2δ4 (p

+ p

− p′

− p′ )

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

×

b

(p′

σ′ )γ

u(p

σ

)

g b

(p′

σ′ )γ

u(p

σ

)

g

1

u

5

2

2

u

5

2 2

1 1

1 1

(p

− p

)2 + m2 − iε

− [1′ 2′],

1

1′

(фермион-фермионное рассеяние);

S

,p p

= −(2π)−6 g2 (16E E E′E′ )−1/2 δ4 (p

+ p

− p

− p

)

p′p′

2

1 2 1 2

1

2

1′

2′

1

2

1

R

− γ

μq

μ

+

M

− γ

+

p1′ )

μ

+

M

|

i

i

μ (q

× z d4q TrSγ

5

γ 5

q2 + M2 − iε

(q + p

)2 + M2 − iε

|

T

1′

− γ

μ (q

+

p1′

−

p1)

μ

+

M

− γ

μ (q

−

p2′ )

μ

+

M

U

× γ

i

γ

i

|

+ L,

V

5 (q

+ p

− p )2 + M2 − iε

5 (q − p

)2

+ M2 − iε

|

1′

1

2′

W

378

Глава 6. Фейнмановские правила

(бозон-бозонное рассеяние), где в последней формуле многоточие означает сумму по перестановкам частиц 2, 1′ è 2′. Множители β â

числителях фермионных пропагаторов были использованы для того, чтобы заменить u† íà`u.

* * *

Еще один полезный топологический результат выражает не- что вроде закона сохранения линий. Представим, что все внутренние и внешние линии рождаются в вершинах и затем уничтожаются парами в центрах каждой внутренней линии и поодиночке на концах каждой внешней линии. (Это не имеет отношения к направлению стрелок на линиях.) Приравнивая число рождающихся и уничтожающихся линий, получаем

2I + E = å ni Vi ,

(6.3.11)

i

ãäå I è Å − числа внутренних и внешних линий, Vi − число вершин разных типов i, а ni − число линий, подсоединенных к каждой

вершине. (Это выполняется и по-отдельности для полей каждого типа.) В частности, если все взаимодействия содержат одинаковое число ni = n полей, то

2I + E = nV ,

(6.3.12)

ãäå V − полное число вершин. В этом случае можно исключить I из

(6.3.4) и (6.3.11) и получить, что для связной (С = 1) диаграммы число вершин дается формулой

V =

2L + E − 2

.

(6.3.13)

n − 2

Например, для трилинейного взаимодействия диаграммы процесса рассеяния (Е = 4) с L = 0, 1, 2, ... имеют V = 2, 4, 6, ... вершин. В общем случае разложение по степеням констант связи есть разложение по увеличивающемуся числу петель.

Смотрите также файлы