ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.08.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 0
Момент силы относительно оси может быть определен также следующим образом: момент силы F относительно оси z равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси z, взятому относительно точки O1 пересечения оси с этойплоскостью.
Второе определение фактически дает метод вычисления момента силы относи-
тельнооси. Такжеможно отметить, что момент силыотносительно оси равен ну-
люесли
1.силапараллельнаоси
2.линиядействиясилыпересекаетось.
Обавариантамогутбытьсоединеныводин: силаиосьлежатводнойплоско-
сти.
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива и для моментов относительно любой оси. Теоремой особенно удобно пользоваться для нахождения моментов силы относительно координатных осей, разлагая силу насоставляющие, параллельныеосямилиихпересекающие.
•Теорема о параллельном переносе силы.
Теорема о параллельном переносе силы: силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.
Доказательство
•Теорема о приведении системы сил к заданному центру.
Пусть на твердое тело действует произвольная система сил. Выберем ка- кую-нибудь точку О за центр приведения и пользуясь доказанной ранее теоремой о параллельном переносе перенесем в выбранный центр все силы присоединяя при этом в соответствующие пары (см. рис.).
9
По выполнении данной процедуры получим сходящуюся систему сил и некоторый набор пар сил, определяемый моментами этих пар.
Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R,
приложенной в точке О. При этом
R = ∑Fk k
Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой МО равен
MO = ∑mO (Fk ) k
Как известно, величина R, равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы сил; величина МО, равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным мо-
ментом системы сил относительно этого центра.
Таким образом, мы доказали следующую теорему о приведении системы сил: любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при
приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом МО, равным главному моменту системы сил относительно центра О.
Заметим, что сила R не является здесь равнодействующей данной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.
Из доказанной теоремы следует, что две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того оке цен-
тра, эквивалентны (условия эквивалентности систем сил).
Отметим еще, что значение R от выбора центра О, очевидно, не зависит. Значение же МО при изменении положения центра О может в общем случае изменяться вследствие изменения значений моментов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо указывать, относительно какого центра определяется главный момент.
Рассмотрим в заключение два частных случая:
1) если для данной системы сил R=0, а МО≠0, то она приводится к одной паре сил с моментом МО. В этом случае значение МО не зависит от выбора
10
центра О, так как иначе получилось бы, что одна и та же система сил заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, что невозможно;
2) если для данной системы сил R≠0, а МО=0, то она приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей, равной R и приложенной в центре О.
•Условие равновесия произвольной системы сил
Покажем, что для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра были равны нулю, т. е. чтобы выполнялись условия
R = 0, MO = 0
где О — любой центр.
Сформулированные выше условия являются необходимыми, так как если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил приводится или к равнодействующей (когда R≠0), или к паре сил (когда МО≠0) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно эти условия являются и достаточными, потому что при R=0 система сил может приводиться только к паре с моментом МО, а так как МО=0, то имеет место равновесие.
•Пример решения задачи
Задача с вагонной полкой.
11
Лекция 5
Силы трения. Равновесие с учетом трения
•Сила трения покоя. Законы трения покоя
Физическая природа сил трения.
Сила трения покоя. Законы силы трения покоя.
1.При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого возникает сила трения принимающая любые значения до некоторого предельного значения Fпр и направленная в сторону противоположную движению
2.Fпр=f0N, где f0 - статический коэффициент трения. Он зависит от материала и качества обработки поверхности.
3.Значение силы трения не зависит от размеров соприкасающихся тел. (Вопрос аудитории: зачем точат коньки)
При равновесии Fтр≤f0N , т.е. сила трения как правило меньше своего предельного значения, а равновесие при Fтр≤Fпр называется предельным равновесием.
Характерные значения коэффициентов трения: дерево по дереву 0.4 – 0.7, метал по металу 0.15 – 0.25; сталь по льду 0.027.
•Угол трения. Реакция шероховатой поверхности
Реакция шероховатой поверхности в отличии от гладкой состоит из 2-х частей: нормальной реакции N и силы трения Fтр. Наибольший угол между полной реакцией и нормалью называется углом трения. Этот угол может меняться от нуля до некоторого предельного значения φ0 определяемого соотношением tgφ0=Fпр/N=f0.
R |
N |
Pcosα |
P |
φ |
Fтр |
α |
Psinα |
Если на тело (весом тела пренебрегаем) действует сила под углом к нормали, то тело сдвинется если Psinα>Fпр=f0N=f0Pcosα=tgφ0Pcosα. Отсюда следует, что для движения тела необходимо что бы α>φ0, при меньших углах α тело не сдвинется. На этом факте основано явление заклинивания и самозатормаживания тел.
•Равновесие при наличии трения
Изучение равновесия приналичии в системе трения сводится как травило к расмотрению предельного равновесия. При этом реакция шероховатой поверхности изображается двумя своими состовляющими, а к уравнениям статики добавляется соотношения Fпр=f0N. Если в задаче требуется определить условия равновесия при всех значениях силы трения, то сначала рассматривается случай предельного равновесия, после чего статический коэффициент трения уменьшается до нуля. Если же ставится задача определить силу трения не равную предельной, то эта сила считается неизвестной реакцией и ее значения определяется из уравнений статики.
12
Пример решения задачи на равновесие с учетом трения.
•Сила трения скольжения
При движении одного тела по поверхности другого сила трения определяется как F=fN, где f - динамический коэффициент трения. В общем случае f0=f и определяется опытным путем. При росте скорости f сначала убывает, а потом сохраняет практически постоянное значения, как и f0 он зависит от материала и степени обработки поверхности.
•Сила трения качения
Рассмотрим качение цилиндра по гладкой поверхности
N Q Q
P N
F P F
Q<Fпр.
Силы F и Q образуют пару, вызывающую качение цилиндра при любой силе Q. Это противоречит опыту.
В реальности цилиндр и поверхность деформируются и имеют не точку контакта, а площадку контакта АВ. Под действием силы Q давление у края А убывает, а у края В возрастает. В результате реакция N оказывается смещенной в сторону действия силы Q. С увеличением силы Q это смещение растет до некоторой предельной величины δ.
Т.о. в предельном положении на каток действуют две папы сил F и Qпр с моментом QпрR, и уравновешивающая пара сил N и Р с моментом Nδ. Качение начнется когда первый момент станет больше второго. Отсюда находим
Q R = Nδ |
Q = N |
δ |
|
||
пр |
пр |
R |
|
|
Величина δ называется коэффициентом трения качения. Измеряется в метрах (сантиметрах). Обычно отношение δ/R значительно меньше f0, поэтому в технике для снижения силы трения всегда стремятся заменить скольжение качением установкой катков, колес, шариковых подшипников.
Характерные значения коэффициента трения качения (в см) дерево по дереву 0.05-0.08 мягкая сталь по стали (колесо по рельсу) 0.005
закаленная сталь по стали (шариковый подшипник) 0.001
13
Лекция 6
Кинематика точки
• Кинематика - геометрия движения
Кинематика – раздел механики в котором изучается движение без учета причин это движение вызвавших. Место кинематики среди иных разделов механики.
Понятие системы отсчета. Система отсчета = тело отсчета + система координат + время.
Пространство и время кинематики. Абсолютность времени и однородность пространства. Границы применимости классической механики.
Основная задача кинематики: зная закон движения установить методы определения кинематических характеристик этого движения.
Закон движения – зависимость, определяющая положение тела в пространстве в любой момент времени.
Траектория – линия вдоль которой движется точка в пространстве. Различие между траекторией и законом движения.
•Способы задания движения точки
1.Векторный способ задания. Положение точки задается радиус-вектором r. Его годограф определяет траекторию движения. Следует понимать, что от времени зависят координаты радиус-вектора. Такой способ описания хорош при выводе общих соотношений кинематики.
2.Координатный способ задания. Задан закон изменения со временем каждой
из координат. Например x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). Вместо декартовой системы координат может использоваться любая другая.
Связь между векторным и координатным способами задания движения оп-
ределяется соотношением
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
3.Естественный способ задания. Необходимо знать траекторию, на которой выбрать точку и определить положительное и отрицательное удаление от нее измеряемое вдоль траектории. Это удаление и есть естественная координата s. Закон движения имеет форму s=f(t).
• Вектор скорости точки
Понятие средней скорости как отношения вектора перемещения ко времени за которое оно произошло.
Предельный переход от средней скорости к мгновенной.
υ(t) = drdt(t)
Направление вектора скорости: касательная есть предельное представление секущей, являющейся вектором перемещения. Подчеркнуть однозначность взаимного положения траектории и вектора скорости.
• Вектор ускорения точки
Понятие ускорения точки, как скорости изменения скорости.
14