Файл: Groda_Prikladnaya_mekhanika.pdf

Понятие среднего ускорения и предельный переход к мгновенному ускорению.

a(t) = dυ(t) = d 2r(t) dt dt2

Две причины наличия ускорения при движении точки: изменение величины скорости и изменение ее направления.

Подчеркнуть невозможность столь однозначного определения направления вектора ускорения по сравнению с вектором скорости.

• Скорость и ускорение точки при координатном способе за-

дания движения

Как известно, r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k , причем единичные орты являются

векторами постояными. Поэтому для вектора скорости получаем

υ(t) = x&(t)i + y&(t)j + z&(t)k

С другой стороны для вектора скорости, как и для любого вектора можем записать

υ(t) = υx (t)i + υy (t)j + υz (t)k .

Сопоставив соотношения получаем

Модуль скорости и направляющее косинусы определяются как

cos2 α+cos2 β+cos2 γ =1

Полностью аналогичные рассуждения могут быть проделаны и для вектора ускорения

•Оси естественного трехгранника

При описании движения точки естественным образом значения векторов а и υ определяются проекциями не на оси системы отсчета Оxyz, а на подвижные оси Мτnb связанные с самой точкой М и движущиеся вместе с нею. Эта тройка осей называется естественным трехгранником и строится следующим образом

1.Ось Мτ направлена по касательной к траектории в сторону положительного отсчета криволинейной координаты s.

2.Ось Мn – по главной нормаль к траектории в сторону вогнутости траектории (главная нормаль – прямая перпендикулярная к касательной и лежащая в соприкасающейся плоскости).

3.Ось Мb называется бинормалью и может быть определенная векто-

ром b = τ×n , где τ и n – единичные вектора орты на осях Мτ и

Мn.

15

Нетрудно видеть, что построенная таким образом система координат является прямоугольной декартовой, однако в отличии от неподвижных осей Оxyz эта система отсчета движется вместе с точкой при ее движении вдоль траектории.

Рассмотри проекции векторов скорости и ускорения на оси естественного трехгранника.

Ранее было установлено, что скорость точки направлена по касательной к

траектории. Это позволяет утверждать что

υn = υb = 0, υτ = ±υ,

Следовательно υτ или совпадает с модулем скорости или отличается от него только знаком. В дальнийшем условимся обозначать υτ опуская индекс τ

как υ и назовем его алгебраическим значением скорости.

Определим алгебраическое значение скорости. За время ∆t точка пройдем по траектории путь ∆s. Тогда средняя скорость движения точки

s

t

Соответственно мгновенная скорость есть предел средней при t →0

Т.о. алгебраическое значение скорости точки в данный момент време-

ни равно первой производной от криволинейной координаты этой точки по времени.

•Касательное и нормальное ускорения точки

Ранее было установлено, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости. Это позволяет утверждать, что в любой момент времени ab = 0 . Оп-

ределим две оставшиеся проекции an и aτ - нормальное и тангенциальное (касательное) ускорения .

Проведя соответствующие вычисления получим

где ρ – радиус кривизны траектории в точке М.

Радиус кривизны кривой в некоторой точке это радиус окружности дуга которой совпадает с кривой в окрестности данной точки.

Т.о. окончательно для нормального и тангенциального ускорений получаем следующие соотношения

Полное ускорение опредяляется геометрической суммой векторов aτ и an .

Поскольку оси Мτ и Мn ортогональны для модуля полного ускорения можно записать следующее выражение

a = (aτ)2 + (an )2 .

16

Для выяснения механической природы нормальной и тангенциальной компонент вектора ускорения рассмотрим прямолинейное движение и равномерное криволинейное движение.

При прямолинейном движении направление скорости не изменяется и отличное от нуля ускорение может быть обеспечено только изменением модуля скорости. В то же время движение по прямой можно считать движением по дуге окружности бесконечно большого радиуса, а значит ρ→∞, an = 0 и a = aτ.

Это позволяет сделать вывод, что тангенциальное (касательное) ускорение

характеризует изменение скорости по величине.

При равномерном движении υ = const , aτ = 0 и a = an . Ускорение в этом

случае появляется только за счет изменения скорости по направлению. Значит,

нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.

•Частные случаи движения точки

Пользуясь полученными результатами рассмотрим частные случаи движения точки

1. Равномерное прямолинейное движение

Т.к. движение равномерно, то υ = const и aτ = 0 , а т.к. оно прямолинейно,

то an = 0 и следовательно a =0 . Это единственное движение при котором

ускорение точки всегда равно 0. 2. Прямолинейное движение

Поскольку движение прямолинейно то an = 0 и a = aτ.

3. Равномерное криволинейное движение

Т.к. движение равномерно то υ = const , aτ = 0 и a = an .

4. Равнопеременное криволинейное движение

Равнопеременным называется такое движение при котором aτ = const . Т.к. оно криволинейно, то an ≠ 0 и полное ускорение состоит из нормальной и тан-

генциальной компонент. aτ = ddtυ υ= υ0 + aτt

dsdt = υ0 + aτt s = s0 + υ0t + aτ2t2

5. Гармонические колебания

Гармоническим колебанием называется такое движение при котором рас-

стояние от точки М до начала координат меняется по закону s = Acos(kt +ϕ) или s = Asin(kt +ϕ) ,

где А, k и t – постоянные величины. А называется амплитудой и характеризует максимальное отклонение точки М от начала координат, k – циклическая частота колебаний: число колебаний в единицу времени умноженное на 2π; kt +ϕ – фаза колебаний и φ – начальная фаза.

17

Лекция 7

Простейшие движения твердого тела

•Задачи кинематики твердого тела. Виды его движения

Абсолютно твердым телом (в дальнейшем, твердым телом) называется такая механическая система при движение которой расстояние между любыми двумя точками в процессе движения остается постоянным. совокупность Пусть кривая АВ – траектория движения точки М при ее движении в пространстве.

Задачи кинематики твердого тела

1.Задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом;

2.Определение движения кинематических характеристик движения отдельных точек тела.

Поскольку движение твердого тела гораздо разнообразнее по сравнения с движением материальной точки изучение кинематики его движения мы начнем

срассмотрения двух простейших типов его движения (простейших движений) –

поступательного движения и вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

18

Для нахождения скорости продифференцируем это соотношение с учетом того, что АВ=const, и получим υА=υВ, аналогично этому вторая производная даст аА=аВ. Т.к. точки были выбраны произвольно, то это справедливо для любой точки твердого тела.

Следствие теоремы: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, при этом вектора скорости и ускорения можно изображать приложенными так же в любой точке тела.

Понятие скорости и ускорения движения твердого имеет смысл только при поступательном движении. В любом другом случае можно говорить только о скорости и ускорении движения точки твердого тела.

• Вращательное движение ТТ вокруг неподвижной оси. Угло-

вая скорость и угловое ускорение

Вращательным называется такое движение твердого тела при котором какие-нибудь две его точки (или неизменно с ним связанные) остаются неподвижными. Прямая, проходящая через две эти точки называется осью вра-

щения.

Для описания вращения твердого тела рассмотрим две полуплоскости. Одну неподвижную, а вторую жестко связанную с телом. При вращении тела угол между этими полуплоскостями φ, называемый углом поворота твердого тела, будет изменяться. Зависимость угла поворота от времени φ=φ(t) позволяет определять положение твердого тела в произвольный момент времени и является законом вра-

щательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Угол повороты измеряется в радианах!

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая ско-

рость ω и угловое ускорение ε. Модуль угловой скорости определяется первой производной от угла поворота φ

ω= ddtϕ = ϕ& ,

аее направление правилом правого винта. Угловая скорость всегда направле-

на по оси вращения.

Смысл угловой скорости – на сколько радиан тело повернется за 1 секунду. Единицей ее измерения является рад/c.

Иногда угловая скорость задается в числе оборотов в минуту n. Пересчет в обычные единицы измерения осуществляется следующим образом

ω= 260πn = π30n

Аналогичным образом может быть определено и угловое ускорение

19