Файл: Groda_Prikladnaya_mekhanika.pdf

ε = dω = d 2ω = ω& = ϕ&& dt dt2

Смысл углового ускорения – на сколько радиан в секунду изменится угловая скорость тела за 1 секунду. Единицей ее измерения является рад/c2.

Как и угловая скорость, угловое ускорение направлено по оси вращения. При этом

ε= ddtω

Т.е. направление угловой скорости и ускорения совпадают, если тело вращается ускорено, и вектора направлены в противоположные стороны, если тело замедляется.

• Равномерное и равноускоренное движения ТТ.

Аналогия между кинетическими характеристиками поступательного и вращательного движений

Поступательное движение, происходящие при неизменной скорости, называется равномерным. Аналогично этому вращение при постоянной угловой скорости – равномерное вращение.

Рассмотрим в качестве примере одномерное поступательное движение твердого тела. В этом случае его положение определяется одной координатой х, а значит закон движения имеет вид х=f(t). Согласно определению

υ= dxdt ,

это обычное д.у. первого порядка решим его при учете, что скорость υ постоянна и получим, что

x = x0 + υt ,

где постоянная интегрирования х0 имеет смысл начального положения тела. Аналогичным образом рассмотрев определение угловой скорости как д.у.

и решив его в случае равномерного движения получим

ω= ddtϕ ϕ= ϕ0 +ωt ,

где постоянная интегрирования φ0 имеет смысл начального угла поворота тела. Движения происходящие при постоянных значениях ускорения либо углового ускорения называются равноускоренным поступательным либо равноускоренным вращательным движением соответственно. Аналогично рассмотренному выше, рассматривая определения ускорения и углового ускорения как д.у.

второго порядка проводя их интегрирование имеем

20

где x0 и υ0 - начальные значения координаты и скорости при равноускоренном поступательном движении, φ0 и ω0 - начальные значения угла поворота и угловой скорости при равноускоренном вращательном движении.

•Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Скорости точек. Рассмотрим точку твердого тела М на расстоянии h от оси вращения. Эта точка движется по окружности радиуса h. За время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, а точка при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdφ. Отсюда скорость точки

υ= dsdt = h ddtϕ = hω.

Вотличии от угловой скорости эту скорость называют линейной или окружной скоростью точки М.

Ускорения точки. Для определения ускорения точки твердого тела при его вращательном движении воспользуемся определениями нормального и тангенциального ускорений, учтя, что в нашем случае радиус кривизны равен h.

Полное ускорение точки в этом случае

a = an2 + aτ2 = h ω4 + ε2

Как и скорость ускорения точки называют линейными.

Линейные скорость и ускорения - кинематические характеристики движения точки твердого тела, а угловые скорость и ускорение - кинематические характеристики движения всего твердого тела.

Если учесть, что угловые скорость и ускорение это векторные величины, то для линейных скорости и ускорения могут быть записаны следующие выражения

υ = ω×r

a = ε×r + ω× υ

21

Лекция 8

Плоскопараллельное движение твердого тела. Расчет скоростей точек тела

•Понятие плоскопараллельного движения

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости.

Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кри- вошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим сечение S тела какойнибудь плоскостью Оху, параллельной выделенной плоскости. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ', перпендикулярной сечению S, движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S

этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S

вее плоскости, т.е. в плоскости Оху.

•Уравнения плоскопаралельного движения твердого тела

Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ. В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты хА, уА точки А и угол φ, который отрезок АВ образует с осью х.

Точку А выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

При движении фигуры величины хА, уА и φ будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой

момент времени, надо знать зависимости xA = xA(t), yA = yA(t), ϕ= ϕ(t) .

Данные уравнения, определяющие закон происходящего движения,

называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

22

Первые два из уравнений плоского движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при φ=const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А. Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при хA=const и уA=const, т. е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фигуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в

общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Иными словами плоское движение можно считать состоящим из

поступательного движения вместе с полюсом А и вращения вокруг оси перпендикулярной плоскости и проходящей через точку А.

• Основные кинематические характеристики плоского

движения и их зависимость от выбора полюса

Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются – скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса (υпост=υA, апост=аA), а также угловая скорость со и угловое ускорение ее вращательного движения вокруг полюса. Значения этих характеристик в любой момент времени t можно найти, воспользовавшись уравнениями.

При изучении движения можно в качестве полюса выбирать любую точку фигуры. Рассмотрим, что получится, если вместо А выбрать в качестве полюса какую-нибудь другую точку С и определять положение фигуры отрезком СВ1, образующим с осью Ох угол φ1.

Характеристики поступательной части движения при этом изменятся, так как в общем случае υС≠υA и аС≠аA (иначе движение фигуры было бы поступательным). Характеристики же

вращательной части движения, т. е. ω и ε, остаются неизменными. В самом деле, проведя из С прямую CBl параллельную АВ, мы видим, что в любой

ω1=ω, ε1=ε.

Следовательно, вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

•Определение скоростей точек плоской фигуры

Ранее было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью υA полюса А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

23

Положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусомвектором r=гА+r', где rА – радиус-вектор полюса А, r'=АМ – вектор, определяющий положение точки М относительно осей Ах'у', перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А). Тогда

υM = ddtr = ddtrA + ddtr′

В полученном равенстве величина drA/dt=υA есть скорость полюса А; величина же dr'/dt равна скорости υMA, которую точка М получает при rA=const, т. е. относительно осей Ах'у', или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что

υM = υA + υAM

При этом скорость υMA, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А, будет:

υAM = ωAM υAM AM

где ω – угловая скорость фигуры.

Таким образом, скорость любой точки М

плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полю-

са. Модуль и направление скорости υM находятся построением соответствующего параллелограмма.

Сформулированное утверждение называется теоремой сложения

скоростей при плоском движении.

•Теорема о проекции скоростей двух точек тела

Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, движущегося плоскопараллельно) с помощью общей теоремы сложения скоростей обычно с довольно сложными расчетами. Однако исходя из этого основного результата, можно получить ряд других, практически более удобных и простых методов определения скоростей точек фигуры (или тела).

Один из таких методов дает теорема: проекции скоростей двух то-

чек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс, получаем

υB = υA + υAB

Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор υBA перпендикулярен АВ; находим

24