Файл: Algebra.pdf

Скачать файл (2,12Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.09.2024

Просмотров: 182

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ˆ ˆ	ˆ ˆ
Суммой операторов A и B называется линейный оператор A +B		(дейст
вующий из L в K), определяемый равенством
(A +B)x = Ax +Bx .
ˆ ˆ ˆ ˆ
	ˆ
Произведением линейного оператора A на число λ называется линей
ˆ	L в K), определяемый равенством
ный оператор λA (действующий из
(λA)x =λ(Ax ).
ˆ	ˆ

Нулевым оператором, обозначаемым символом O , называется оператор, ото бражающий все элементы пространства L в нулевой элемент пространства K:

	Ox =θ.
	ˆ
ˆ	ˆ
Для каждого оператора A	противоположный оператор −A определяется
соотношением
	ˆ ˆ
	−A =(−1)A .

Несложно убедиться, что множество всех линейных операторов, действую щих из L в K, с определенными выше операциями суммы и умножения на скаляр образует линейное пространство.

Тождественным оператором E называется линейный оператор, дейст вующий по правилу:

ˆ =

Ex x .

	ˆ
Пусть линейный оператор A действует из линейного пространства K в ли
нейное пространство M	ˆ	ˆ
нейное пространство M	(по правилу z = Ay ), а линейный оператор	B дейст
	ˆ	ˆ
вует из L в K (по правилу y =Bx ). Произведением линейных операторов A и
ˆ	ˆˆ
B называется линейный оператор AB , действующий по правилу

(ˆˆ) =ˆˆ( )

AB x A Bx .

Операция умножения линейных операторов обладает следующими с в о й с т в а м и, которые легко проверить, исходя из определения произведения:

ˆˆ	ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ		ˆˆ ˆ		ˆˆ ˆˆ ˆˆˆ			ˆˆˆ
λ(AB)	=(λA)B, (A +B)C	= AC +BC,	A (B +C)		= AB	+ AC,	A(BC)	=(AB)C .
ТЕОРЕМА 4.2.1. Если в линейных пространствах L, K, M выбраны неко
торые базисы e1, e2,…, eт ,		f1, f2,…, fь	и					ˆ
				g1, g2,…, gp , линейный оператор A
имеет в базисах e1, e2,…, eт		и f1, f2,…, fь						ˆ
				матрицу A, а линейный оператор B
имеет в базисах f1, f2,…, fь и g1, g2,…, gp				матрицу B, то линейных оператор
ˆˆ
AB имеет в базисах e1, e2,…, eт и g1, g2,…, gp матрицу AB.
Доказательство этой теоремы оставляем читателю.
ПРИМЕР 4.2.1. Линейный оператор, действующий из						3 в	3 , задан так: вся

кому вектору x ставится в соответствие вектор y с координатами

y1 = −x1, y2 = x2, y3 = x3 .

(4.2.1)

Найти матрицу этого линейного оператора в единичных базисах и опреде лить, является ли она вырожденной.

Решение. Запишем (4.2.1) в виде

	y		= −x	+0x		+0x ,
		1	1		2	3
	y2 =0x1 +1x2 +0x3 ,
	y		=0x	+0x		+1x
		3	1	2		3
или			−1 0
y1			−1 0		0 x1
y			= 0	1	0 x		,
	2					2
				0
y3			0	0	1 x3

поэтому матрица данного линейного оператора такова:

−1		0	0

A =	0	1	0	.
		0	1
0		0	1

Она является невырожденной, так как ее определитель

−1 0 0

det | A |= det 0 1 0 = −1 1 1 = −1 ≠ 0 .

00 1

Во п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое линейный оператор?

2.Какой линейный оператор называется нулевым?

3.Какой линейный оператор называется тождественным?

4.Верно ли, что всякий линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой?

5.Верно ли, что всякий линейный оператор A сохраняет линейные комби

нации, т. е. если f = c1a1 + c2a2 + ··· + cnan, то Af = c1(Aa1) + c2(Aa2) + ··· +cn(Aan)?

6.	ˆ
	из L в K (по правилу y = Ax ).
7.	ˆ
	Верно ли, что всякий линейный оператор A	сохраняет линейную зави

симость между векторами, т. е. если векторы a1, a2, …, an линейно зависимы, то

векторы ˆ ,ˆ ,…,ˆ также линейно зависимы

Aa1 Aa2 Aan ?

8.Что такое матрица линейного оператора в паре базисов?

9.Что такое сумма двух линейных операторов?

10.Что такое произведение линейного оператора на число?

11.Является ли множество всех линейных операторов, действующих из не которого линейного пространства L в линейное пространство K, линейным пространством?

12.Является ли линейным оператором произведение линейных операторов?

13.Чему равна матрица произведения линейных операторов?

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1. Постройте в единичном базисе матрицу линейного оператора, который в пространстве 2 оставляет первую координату вектора неизменной, а вторую умножает на 2.

2. Определите, в чем заключается действие линейного оператора, матрица которого

0		1	0

A =	1	0	0	.
		0	1
0		0	1

§ 4.3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

	ˆ
	Рассмотрим линейный оператор A , действующий из некоторого простран
ства L в то же пространство L.
	Любой н е н у л е в о й вектор x , удовлетворяющий уравнению
	Ax =λx ,	(4.3.1)
	ˆ
	ˆ	число
называется собственным вектором линейного оператора A , при этом		число
λ	ˆ
λ	называется собственным значением линейного оператора A , соответст

вующим собственному вектору x .

Если задан базис линейного пространства L, и в этом базисе линейный опе

ратор ˆ имеет матрицу , то уравнение (4.3.1) можно представить в матрич

A A

ном виде:

Ax =λx

или

(A −λE)x =θ.

При этом вектор x называется собственным вектором матрицы A, а число λ называется собственным значением матрицы A, соответствующим собст венному вектору x .

Приведем без доказательства теорему, с помощью которой можно находить собственные значения линейных операторов.

ТЕОРЕМА 4.3.1. Множество собственных значений линейного оператора A совпадает со множеством корней характеристического уравнения этого оператора вне зависимости от того, в каком базисе задана матрица опера

тора A .

Уравнение

det(A −λE) =0

(4.3.2)

относительно λ называется характеристическим уравнением матрицы A. Характеристическим уравнением линейного оператора называется харак

теристическое уравнение его матрицы, заданной в каком либо базисе.

В развернутом виде характеристическое уравнение (4.3.2) запишется сле дующим образом:

	a11 −λ	a12	a1n
	a11 −λ	a12	a1n
det	a21	a22 −λ	a2n	=0 .
	an1	an2	ann −λ

В общем случае характеристическое уравнение (4.3.2) линейного оператора

ˆ имеет к о м п л е к с н ы х корней собственных значений линейного

A n —

оператора. В экономическом анализе имеют смысл, как правило, д е й с т в и т е л ь н ы е собственные значения.

Для вычисления собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы А порядка n необходимо выполнить следующие действия:

• составить характеристическое уравнение (4.3.2) и найти все его различные действительные корни λ1, λ2, …, λk , которые и будут собственными значениями матрицы А;

• для каждого собственного значения λi найти общее решение системы ли нейных алгебраических уравнений

(A −λiE)x =0 ,

оно (с дополнительным условием x ≠0 ) и будет задавать собственные векторы, которым соответствует данное собственное значение λi .

ПРИМЕР 4.3.1. Найти собственные значения матрицы А из примера 1.3.1 и со ответствующие им собственные векторы.

Решение. Составим характеристическое уравнение для матрицы А из примера 1.

Так как
	0 −λ 1	1−λ 0	2 −λ 0		−λ 1		2
	0 −λ 1	1−λ 0	2 −λ 0		−λ 1		2
det \| A −λE \|= det	4 −λ 0	0 −λ 1	1−λ 0	= det	4	−λ	1	=
	3 −λ 0	−1−λ 0 1−λ 1			3	−1 1−λ