Файл: Algebra.pdf

z1z2 =(x1x2 −y1y2 ) +i(x1y2 +x2y1) .

Сопряженным к комплексному числу z = x +iy называется число z = x −iy .

Кроме того, произведение комплексного числа на число, сопряженное к не му, является действительным числом:

zz =(x +iy)(x −iy) = x2 +y2 .

Используя этот факт, можно получить формулу для частного от деления комплексного числа z1 = x1 +iy1 на число z2 = x2 +iy2 :

Выражение

где x — переменная величина, а a0 , a1,…, an — действительные числа (причем an ≠0 ), называется многочленом n й степени с действительными коэффици ентами.

Оперируя многочленами, приходится иметь дело со стандартным приемом деления одного многочлена на другой. Такое деление производится «столби ком», как и деление действительных чисел.

ПРИМЕР 4.1.1. Найти частное и остаток от деления многочлена третьей степе ни P3 (x) = x3 +4x2 −6x +10 на многочлен первой степени (x −1) .

Решение. Алгоритм деления точно такой же, как и алгоритм деления действитель ных чисел в десятичной записи — роль степеней десяти здесь выполняют степени x:

−x +10

−x +1 9

Таким образом,

x3 +4x2 −6x +10 =(x −1)(x2 +5x −1) +9 .

72

В общем случае, очевидно, деление многочлена n й степени

на (x – c) дает в частном некоторый многочлен Qn−1(x) (n – 1) й степени и неко торое число R в остатке:

ТЕОРЕМА 4.1.1 (ТЕОРЕМА БЕЗУ). Остаток R от деления многочлена n й степе ни Pn (x) на (x −c) равен Pn (c) :

Доказательство. Для доказательства формулы (4.1.3) достаточно в формуле (4.1.2) положить x = c: Pn (c) =(c −c)Qn−1(c) +R = R .

Число c называется корнем многочлена Pn (x) , если Pn (c) =0 .

Приведем без доказательства так называемую основную теорему алгебры.

ТЕОРЕМА 4.1.2 (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ). Всякий многочлен n й степени (где

n — любое натуральное число) имеет хотя бы один комплексный корень c.

Отсюда следует ряд важных результатов.

ТЕОРЕМА 4.1.3 (ТЕОРЕМА О КАНОНИЧЕСКОМ РАЗЛОЖЕНИИ МНОГОЧЛЕНА). Всякий мно

гочлен n й степени Pn (x) может быть представлен в виде

(теореме 4.1.2) многочлен Pn (x) имеет хотя бы один корень x1 . По теореме Безу (тео

реме 4.1.1) Pn (x) =(x −x1)Qn−1(x) +Pn (x1) . Но Pn (x1) =0 , так как x1 — корень многочлена Pn (x) . Поэтому Pn (x) =(x −x1)Qn−1(x) . Если степень многочлена Qn−1(x) равна нулю, то этот многочлен представляет собой просто число a: Qn−1(x) = a , если же степень многочлена Qn−1(x) не меньше первой, то этот многочлен Qn−1(x) аналогичным обра зом можно представить в виде Qn−1(x) =(x −x2 )Sn−2 (x) . В итоге получим доказываемое равенство.

73

Учитывая свойства операции сопряжения (4.1.1), получим окончательно, что

Pn (z )= (an zn ) +(an− zn−1 ) + +(a z) +a = (an zn +an− zn−1 + +a z +a ) =0 =0 ,

1 1 0 1 1 0

т. е. z также является корнем данного многочлена Pn (x) , что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 4.1.5. Всякий многочлен n й степени Pn (x) c действительными ко эффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов первой и второй степени.

Доказательство. По теореме 4.1.3 многочлен Pn (x) может быть представлен в ви де Pn (x) = a(x −x1)(x −x2 ) (x −xn ) , где x1, x2, …, xn — корни данного многочлена. Если некоторый корень xk = a +ib (где b ≠ 0 ) является комплексным, то по теореме 4.1.4

среди корней x1, x2, …, xi−1, xi+1, …, xn обязательно есть и x = x = a −ib . При этом

l k

(x −xk )(x −xl ) =(x −(a +ib))(x −(a −ib))=(x −a −ib)(x −a +ib) = = x2 −2ax +(a2 +b2 ) = x2 +px +q,

где p = −2ax, q = a2 +b2 . Отсюда и следует утверждение теоремы.

ПРИМЕР 4.1.2. Убедиться, что числа x1 =1 и x2 = −2 являются корнями много члена P4 (x) = x4 +2x3 −x −2 и представить этот многочлен P4 (x) в виде произ ведения многочленов первой и второй степени.

числа x1 =1 и x2 = −2 действительно являются корнями данного многочлена. Значит,

Таким образом,

P4 (x) = x4 +2x3 −x −2 =(x2 +x −2)(x2 +x +1) =(x −1)(x +2)(x2 +x +1) .

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1.Что такое комплексное число?

2.Всякое ли действительное число является комплексным?

3.Что такое мнимая единица?

4.Как найти сумму двух комплексных чисел?

5.Как найти разность двух комплексных чисел?

6.Как найти произведение двух комплексных чисел?

74

называется матрицей линейного оператора ˆв данных базисах. A

Любой вектор x L можно разложить по базису e1, e2,…, en , а любой вектор y K — по базису f1, f2,…, fm :

значит, если

y = Ax ,

где матрица линейного оператора ˆв данных базисах A — A .

Пусть ˆи ˆ два линейных оператора действующих из линейного про

A B — , странства L в линейное пространство K.

76