Файл: Algebra.pdf

Вначале мы представили элементы k й строки в виде akj = α1 αakj , затем вынесли

за знак определителя общий множитель (1/α) элементов k й строки, далее восполь зовались третьим правилом вычисления определителей, потом вынесли за знак оп ределителя общий множитель α.

ТЕОРЕМА 1.3.3. Если поменять местами две строки матрицы (или два ее столбца), то определитель изменит знак на противоположный:

27

Доказательство. Докажем утверждение для случая перемены местами строк. До казательство сводится к следующей цепочке равенств:

В случае перемены местами столбцов теорема доказывается аналогично.

ТЕОРЕМА 1.3.4. Если матрица имеет две одинаковые строки (или два одина ковых столбца), то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Поменяем эти две строки местами, тогда, с одной стороны, соглас но предыдущей теореме, определитель изменит знак на противоположный, но с дру гой стороны, матрица не измениться, значит, и ее определитель не изменится. Полу чаем: −det | A |= det | A | , откуда det | A |=0 , что и требовалось доказать.

В случае одинаковых столбцов теорема доказывается аналогично.

Чтобы вычислить определитель произвольной квадратной матрицы, можно воспользоваться следующей процедурой, состоящей из конечного числа ша гов, не превышающего порядок матрицы.

На r м шаге рассматривается r й столбец матрицы. Если этот столбец цели ком состоит из нулей, то определитель матрицы равен нулю (по теореме 1.3.1), и процедура заканчивается.

28

Если элемент arr =0 , но в r м столбце существует некоторый ненулевой эле мент akr ≠0 , то прибавим к r й строке k ю и полученную матрицу обозначим

матрицы A , кроме r й следующим образом: к строке с номером i (i = 1, 2, …, r –1, r + 1, …, n) прибавим r ю строку, умноженную на число −air / arr , полу ченную матрицу обозначим

29

Замечаем, что разрешающий элемент (обведенный рамкой) остался неиз менным, а все остальные элементы r го столбца стали нулями, при этом мат рица A преобразуется в матрицу A , в r м столбце которой только один нену левой элемент arr , а определитель det | A |=det | A |=det | A | (по теореме 1.3.2).

В результате выполнения этой процедуры через конечное число шагов мы либо заметим, что один из столбцов матрицы целиком состоит из нулей, либо придем к некоторой диагональной матрице, определитель которой равен оп ределителю исходной матрицы.

Данную процедуру удобно применять с помощью так называемого правила прямоугольника. Чтобы уяснять его смысл, заметим, что величины, входящие в правую часть формулы

aij =aij − air arj , arr

расположены в вершинах прямоугольника, однозначно определяемого преоб разуемым элементом aij и разрешающим элементом arr :

Очевидно, для получения нового элемента aij нужно построить прямоуголь ник (по двум противоположным вершинам arr и aij ), и из преобразуемого эле мента aij вычесть произведение элементов air и arj , расположенных в остав шихся двух вершинах прямоугольника, деленное на разрешающий элемент arr .

Заметим, что на r м шаге описанной процедуры r й столбец приводится к виду

все его элементы, кроме r го, равны нулю, и поскольку преобразования на (r + 1) м шаге процедуры состоят в прибавлении ко всем строкам (r + 1) й строки, умноженной на некоторое число. Но после r го шага на пересечении (r + 1) й строки и r го столбца стоит нуль, так что r й столбец на (r + 1) м шаге не изменится!

30