ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.09.2024
Просмотров: 42
Скачиваний: 0
В нашем анализе технологии производства мы показали, что норма технологического замещения (MRTS) труда капиталом равна соотношению предельных продуктов труда и капитала:
MRTS = −∆K ∆L = MPL MPK .
Выше мы отмечали, что изокоста имеет наклон ∆K ∆L = −w r . Из этого следует,
что когда фирма минимизирует издержки производства при некотором объёме выпуска, выполняется следующее условие:
(6.5) |
MPL MP = w r . |
|
K |
Перепишем его в другой форме: |
|
(6.6) |
MPL w = MPK r . |
Уравнение (6.6) показывает, что при минимальных издержках каждый дополнительный рубль затрат на производственные факторы добавляет одинаковое количество выпускаемой продукции.
Формализация задачи минимизации издержек. Графический анализ весьма иллюстративен. Однако он не является достаточно корректным способом решения задачи. Поэтому необходимо провести формальный анализ проблемы для случая с n факторами производства.
Пусть |
x1, x2 ,..., xn −количества используемых производственных факторов, а |
||||
w1, w2 ,..., wn −цены этих |
факторов, |
задающиеся |
рынком. Пусть y −объём выпуска, |
||
который желает произвести фирма за данный период времени, а C −денежные расходы |
|||||
фирмы на |
покупку |
факторов |
производства. |
Причём, w1,..., wn > 0 |
и C > 0. |
Предположим, что технология описывается производственной функцией |
f (x1,..., xn ), |
||||
которая является строго квазивогнутой, непрерывной и дифференцируемой во всех точках. Для нашей проблемы f (x1,..., xn ) = y, где y = const. Причём, f (0,...,0) < y.
Предположим, наконец, что наша задача имеет внутреннее, а не угловое решение, т.е. x1,..., xn > 0.
Представленная формально проблема минимизации издержек при заданном уровне выпуска имеет вид:
(6.7) |
min w x +... +w x |
n |
при условии, что |
||
x ,...,x |
1 1 |
n |
|
||
|
1 |
n |
|
|
|
129
f (x1,..., xn ) = y.
Это задача на безусловный экстремум, поэтому решим её методом множителей Лагранжа. Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи:
(6.8) L = w1x1 +... +wn xn −λ (f (x1,..., xn ) − y)→ min
Условием первого порядка минимизации издержек является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:
|
∂L |
|
|
= w − |
λ ∂f (x1,..., xn ) = 0 |
|
|
|
|||||
|
∂x1 |
1 |
∂x1 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
∂L |
|
= w −λ ∂f (x1,..., xn ) |
= 0 |
||
|
|
|||||
|
∂x2 |
2 |
∂x2 |
|
||
|
|
|
|
|
||
(6.9) # |
|
|
|
|
|
|
|
∂L |
= w −λ ∂f (x1,..., xn ) |
= 0 |
|||
|
|
|||||
|
∂xn |
|
|
n |
∂xn |
|
|
|
|
|
|
||
|
∂L = f (x |
,..., x ) − y = 0 |
|
|||
|
∂λ |
1 |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Условие 2-го порядка включают в себя и необходимые условия 1-го порядка, а кроме того нужно рассмотреть гессиан:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
− |
∂f |
|
− |
∂f |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
∂2 |
f |
|
|
∂2 |
f |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
= det |
− |
|
|
|
−λ |
∂x12 |
−λ |
|
|
|
|
|
|
< 0 |
||||||
(6.10) |
∂x1 |
∂x1∂x2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
∂ |
2 |
f |
|
|
∂ |
2 |
f |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
−λ |
|
|
−λ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
∂x |
∂x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
H3 |
|
|
< 0;..., |
|
Hn+1 |
|
< 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Произведя несложные преобразования с первыми двумя уравнениями из системы (6.9), получаем:
(6.11) |
1 |
= |
∂f (x1, x2 ) ∂x1 |
= |
∂f (x1, x2 ) ∂x2 |
|
λ |
|
w |
|
w |
|
|
|
1 |
|
2 |
Это означает, что предельная производительность фактора производства в расчёте на 1 ден. единицу, израсходованную на покупку этого фактора будет одинакова для всех используемых факторов производства. Другими словами, соотношение предельной выгоды (т.е. возросшего выпуска) к предельным издержкам должно быть
130
одинаковым для всех факторов производства, действующих в производственном процессе.
Легко также видеть, что
|
∂f (x1, x2 ) |
∂x w |
|
|
|
|
MP (x , x ) |
|
w |
|||||||
(6.12) |
|
|
1 |
= |
1 |
, т.е. |
|
1 |
1 |
2 |
= |
1 |
|
|||
∂f (x1, x2 ) |
|
w |
MP |
(x , x ) |
w |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∂x2 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(6.13) Значит, |
MRTS2→1 |
= |
w1 |
|
, что и требовалось доказать. |
|||||||||||
w2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Произведя аналогичные преобразования с любыми двумя строками системы (6.9), получаем:
(6.14) |
wi |
= |
∂f ∂xi |
= |
MPi |
= MRTS j→i |
|
|
∂f |
MP |
|||||
|
w |
j |
|
|
|
||
|
|
|
∂xj |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции условного (conditional) спроса на факторы производства. Решив задачу минимизации издержек мы получим оптимальные количества 1-го и 2-го фактора производства, которые будут зависеть от цен эти факторов производства и от требуемого объёма выпуска:
|
x = h (w ,..., w , y) |
||||
(6.15) |
1 |
1 |
1 |
n |
|
x = h |
(w |
,..., w |
, y) |
||
|
2 |
2 |
1 |
n |
|
Полученные при решении этой задачи оптимальные количества факторов производства являются функциями, так как они зависят от некоторых переменных. Эти функции называются функциями условного спроса на факторы производства. Она показывают зависимость между количеством факторов, минимизирующим издержки фирмы, с одной стороны, и уровнем выпуска и ценами факторов с другой стороны.
Функции издержек фирмы. Если изменится цена на любой из факторов производства или если фирма пожелает работать при другом уровне выпуска, тогда оптимальным станет другой набор факторов производства. Эта зависимость может быть суммирована как функция издержек. Функция издержек показывает минимальные денежные затраты, которые должна осуществить фирма, чтобы достичь некоторого заданного уровня выпуска при определённых ценах факторов производства, сложившихся на рынке:
131
|
C(w ,..., w , y) = w x +...+w x = w h (w ,..., w , y) +...+w h (w ,..., w , y) |
|
|||||||||
(6.16) |
1 |
n |
1 1 |
n n |
1 1 |
1 |
n |
n n |
1 |
n |
|
при w1,..., wn > 0 |
и y > f (0,...,0). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обратите внимание на то, что если x ≠ x , |
где |
i =1,..., n, |
тогда |
C = w x +... +w x |
|||||||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
1 1 |
n n |
нельзя рассматривать как функцию издержек.
Выражение (6.16) показывает общие, или совокупные, или валовые, издержки фирмы. Однако в экономической теории не менее важными являются понятия средних и предельных издержек. Функция средних издержек может быть представлена
следующим образом: |
|
|||
(6.17) |
AC(w1 |
,..., wn , y) = |
C(w1,..., wn ) |
|
y |
||||
|
|
|
||
Средние издержки показывают, во что обходится фирме производство одной единицы продукции в среднем. В реальной отечественной практике это называются себестоимостью единицы продукции.
Предельные издержки являются первой производной функции общих издержек:
(6.18) |
MC(w1 |
,..., wn , y) = |
∂C(w1,..., wn ) |
|
∂y |
||||
|
|
|
Они показывают, как изменяются минимальные денежные затраты фирмы при производстве одной дополнительной единицы продукции.
Все перечисленные выше функции – (6.16), (6.17) и (6.18) – являются однородными первой степени по ценам факторов производства. Действительно,
α > 0
(6.19) |
C(α w ,...,α w , y) =α w x +... +α w x =α C(w ,..., w , y). |
|||||
|
1 |
n |
1 1 |
n n |
1 |
n |
(6.20) |
AC(α w1,...,α wn , y) = |
α C(w1,..., wn ) |
=α AC(w1,..., wn , y) |
|||
|
|
|
y |
|
|
|
(6.21) |
MC(α w1,...,α wn , y) = |
∂α C(w1,..., wn ) =α MC(w1,..., wn , y) |
||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
Экономический смысл этого математического утверждения состоит в следующем. Если цены всех факторов производства увеличатся в одно и то же число раз, то в такое же число раз возрастут и издержки фирмы: общие, средние и предельные. Следовательно, у фирмы не будет стимулов изменять свой выбор оптимального количества факторов производства, минимизируя издержки при том же самом уровне выпуска.
132