Файл: Сб КИМов ВМ физика.doc

9. Вычислите частную производную функции

10. Вычислите частную производную функции

11. Вычислите частную производную функции

12. Вычислите частную производную функции

13. Вычислите частную производную функции

14. Вычислите частную производную функции

15. Вычислите частную производную функции

16. Вычислите частную производную функции

17. Вычислите частную производную функции

18. Вычислите частную производную функции

19. Входящий в выражение закона Ньютона для вязкой жидкости модуль производной часто не совсем правильно называют «градиентом скорости». Покажите, что в простейшем случае этот «градиент скорости» равен скорости сдвига.

Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.

1. Постройте линии равного уровня скалярного поля u = x + y, соответствующие значениям u = 1, 2, 3, 4, 5.

2. Постройте линии равного уровня скалярного поля u = x² + y², соответствующие значениям u = 1, 2, 3, 4, 5.

3. Постройте линии равного уровня скалярного поля , соответствующие значениямu = 1, 2, 3, 4, 5.

4. Найдите производную функции в точкеA (3,4) по направлению биссектрисы первого координатного угла.

5. Найдите производную функции в точкеA (3,4) по направлению вектора

6. Найдите производную функции в точкеA (3,4) по направлению радиус-вектора точки A.

7. Определите наибольшую скорость, с которой может возрастать функция u (M) =при переходе от точкиM(x,y,z) через точку M₀ (-1, 2, -2).

8. Определите направление, по которому должна двигаться точка M при переходе через точку M₁ (2, 0, 1), чтобы функция u (M) =убывала с наибольшей скоростью.

9. Найдите точки, в которых функция стационарна (т.е. точки, в которых производная по любому направлению равна нулю).

10. Найдите поверхности уровня скалярного поля U = x² + y² + z².

11. Вычислите градиент скалярного поля U = x² + y² +z² в точке .

12. Вычислите производную скалярного поля U = x² + y² +z² в точке по направлению вектора, гдеB (0; -4; 3).

13. При введении через плазматическую мембрану живой клетки

стеклянной микропипетки-электрода регистрируется потенциал покоя

равный -100 мВ относительно окружающего клетку раствора.

Определите величину и направление градиента потенциала, если считать, что потенциал линейно убывает через мембрану снаружи внутрь. Толщину мембраны считать равной l= 10 нм.

14. По известному выражению для потенциала поля точечного электростатического диполя найдите модуль электрической напряжённостиполя электростатического диполя. Считайте, что связь между потенциалом и напряжённостью электростатического поля известна:

Интегралы.

Неопределённые интегралы.

1. Найдите интеграл: .

2. Найдите интеграл: .

3. Найдите интеграл: .

4. Найдите интеграл:.

5. Найдите интеграл: .

6. Найдите интеграл: .

7. Найдите интеграл: .

8. Найдите интеграл: .

9. Найдите интеграл:.

10. Найдите интеграл:.

11. Найдите интеграл:.

12. Найдите интеграл:.

13. Найдите интеграл:.

14. Найдите интеграл:.

15. Найдите интеграл:.

16. Найдите интеграл:.

17. Найдите интеграл:.

18. Найдите интеграл:.

19. Найдите интеграл:.

20. Найдите интеграл:.

21. Найдите интеграл:.

22. Найдите интеграл:.

23. Найдите интеграл:.

24. Найдите интеграл:.

25. Найдите интеграл:.

26. Найдите интеграл:.

27. Найдите интеграл:.

28. Найдите интеграл:.

Определённые интегралы.

1. Определите значение a, при котором выполняется: .

2. Получите выражение для тепловой мощности N_т, выделяемой при ламинарном течении ньютоновской жидкости вязкостью η по цилиндрической трубке длины l под действием разности давлений ΔP. Считайте известными так же радиус трубки R, удельную тепловую мощность , где- напряжение сдвига как функцию расстоянияr от оси трубки и - скорость сдвига как функцию расстоянияr от оси трубки.

3. Пусть кривая проходит в плоскости xy через точку (0,2), а тангенс угла наклона её касательной к оси ОХ выражается функцией х³ - 3х² +2. Найдите эту кривую.

4. Считая известной зависимость линейной скорости течения V вязкой ньютоновской жидкости по цилиндрической трубке радиуса R:

, где ΔP - разность давлений на концах трубки, η - вязкость жидкости, l - длина трубки, определите объёмную скорость течения (расход) жидкости Q. Идентифицируйте полученное решение уравнения как формулу Пуазейля.

5. Идеальный газ изотермически расширяется. При этом давление газа изменяется от P₁ до P₂ . Масса газа m не изменяется. Молярная масса газа M, универсальная газовая постоянная R, абсолютная температура газа T. Получите формулу работы, совершённой газом над внешними телами.

6. Идеальный газ изотермически расширяется. При этом объём газа изменяется от V₁ до V₂. Масса газа m не изменяется. Молярная масса газа M, универсальная газовая постоянная R, абсолютная температура газа T. Получите формулу работы, совершённой газом над внешними телами.

7.Найдите:.

8. Используя закон Био-Савара-Лапласа и вычислив определённый интеграл, получите формулу для расчёта индукции магнитного поля, образованного прямым бесконечно длинным проводом, по которому течёт постоянный ток проводимости. Сила тока в проводе – I.

Дифференциальные уравнения.

1. Из реологического уравнения упруговязкой системы получите дифференциальное уравнение ползучести. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия отсутствие деформации в начальный момент времени. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

2. Из реологического уравнения упруговязкой системы получите дифференциальное уравнение релаксации механического напряжения. Найдите общее решение полученного уравнения для напряжения. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия напряжение σ₀в момент времениt₀= 0. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.

3. Из реологического уравнения вязкоупругой системы получите дифференциальное уравнение ползучести. Найдите общее решение полученного уравнения для относительной деформации. Решите задачу Коши, приняв за начальные условия отсутствие деформации в начальный момент времени. Схематически изобразите интегральную кривую, решенного Вами дифференциального уравнения.