Файл: Общий ТАУ.doc

Зная весовую ф-ию K(t) можно всегда определить передаточную ф-ию.

Сначала определяем реакцию на каждый единичный импульс, а затем все это интегрируем

W(S) = L{k(t)} – прямое преобразование Лапласа

Переходной ф-иейh(t) наз. реакция звена на единичное ступенчатое воздействие, т.е. это переходный процесс на выходе звена при единичном скачке на его входе.

1, t ≥ 0

1(t) = 0, t < 0

X(S) = L{1(t)} = 1/S Y(S) = W(S)*X(S)= W(S)/S

Y(t) = h(t) = L^-1{1/S*W(S)}

δ(t) = k(t) =

Имея одну из 3-х характеристик можно найти любую из недостающих.

Частотными хар-ми наз. формулы и графики, характеризующие реакцию звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме, т.е. вынужденные синусоидальные колебания.

X(t) = sin ωt y(t) = Asin (ωt + φ)

X(t) = e^jωt e^jωt = cos ωt + jsin ωt

Для суждения о вынужденных синусоидальных колебаниях нужно исследовать реакцию звена на сигнал e^jωt. Для того чтобы перейти к частотным хар-кам нужно оператор S заменить на jω.

[W(S)]_s=jω = W(jω) =A(ω)*e^jφ(ω).

A(ω) = │W(jω) │ - амплитуд. Хар-ка

Φ(ω) = arg W(jω) – ФЧХ

W(jω) = A(ω)*e^jφ(ω) - АФЧХ.

Годограф – траектория, которую описывает конец радиус-вектора при изменении ω от 0 ∞ (в полярных координатах).

В прямоугольных координатах:

W(jω) = U(ω) + jV(ω)

A(ω) = √U²(ω) + V²(ω)

7. Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Y_св →0 при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λ_i будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λ_i,i+1 = +jβ , то система будет находиться на границе устойчивости.

Метод Ляпунова. Он дал первое определение устойчивости:

В качестве возмущения Ляпунов рассматривал любое отклонение от установившегося режима, т.е. он рассматривал устойчивость как св-во свободного движения.

Пусть y^*(t) – обозначает некоторый установив-ся режим, а действительное текущее знач. y – y(t). y(t) – соответствует возмущенному движению.

Отклонение возм-го движ-ия от невозм-го обозн-м через x_i(t)

x_i(t)= y_i(t)- y_i^*(t)

(*)- диж ур-ие в форме Коши в отклонениях.

Невоз-ое движение х^*=0, x_i можно принять за координаты состояния системы.

Если мы смогли бы найти все решения этого ур-ия, то мы могли бы найти все возм-ие возействия.

В общем случае конкретное выражение зависит от y^*, т.е. при рассмотрении устойчивости необходимо указать об уст-ти какого режима идет речь.

Геометрическая трактование уст-ти Ляпунова.

Невозмущенное движение х^*=0 называется устойчивым если задав трубку сколь угодно малого n-мерного сечения Е можно подобрать в нач-ный мом. вр. t₀ такую обл-ть нач-х условий  завис-ая от Е, что в дальнейшем увеличение t возмущ-ое движ-ие x(t) не выйдет из заданной трубки Е.

Аналитический критерий уст-ти Ляпунова.

Невоз-ое дв-ие х^*=0 наз-ся уст-вым, если при заданном Е>0 сколь угодно мало оно не было сущ-ет такое >0 зав-ее от Е, что при нач-х услов-ях если x_i(t₀)<, то при дальнейшем движении |x_i(t)|<Е.

Если данное условие не выполняется хотя бы для одного x_i, то сис-ма неустойчива. Если при выполнении данных условий x_i ->0 при t->то невозм-ое движение – асимптотически устойчивое. Если x(t)->0 при любых нач-х отклонениях, то сис-ма наз-ся уст-ой в целом.

Ляпунов рассматривал в общем случае не линейную сис-му, а ее линеаризованный вариант. Он предположил теорему уст-ти, кот-ая позволяет судить об уст-ти нелин-ой сис-мы по ее линеаризованному варианту. Если ур-ие (*) разложить в ряд Тейлора:

-Линейное ур-ие 1-го приближения для него можно составить хар-ое ур-ие.

Для нелинейных сис-м к которым применимо разложение (**) сущ-ет 3 теоремы Ляпунова об исследовании уст-ти по 1-му приближению.

Т.1. Невозм-ое движ-ие х^*=0 устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей _I, если все корни хар-го ур-ия D() имеют ориц-ые вещественные корни.

Т.2. Невозм-ое движ-ие х^*=0 не устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей _I, если хотя бы один корень хар-го ур-ия D() имеет полож-ую вещест-ую часть.

Т.3. В случае наличия в каких-либо корнях хар-го ур-ия нулевой вещ-ой части при всех остальных отрицательных ничего нельзя сказать об уст-ти невозм-го движения х^*=0 по 1-му приближению, т.е. без спец-ого исследования ур-ия (**).

По Т.3. сис-ма нах-ся на границе устойчивости.

8. Устойчивость систем управления. Частотный критерий устойчивости.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Y_св →0 при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λ_i будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λ_i,i+1 = +jβ , то система будет находиться на границе устойчивости.

Критерий Михайлова. Это частотный критерий и он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы.

D(λ) = a₀*λⁿ + a₁*λ^{n -1} +…+ a_{n -1}*λ + a_n . Считать все коэффициенты характеристического уравнения положительными.

Если вместо λ подставить jω, то D(jω) = X(ω) + jY(ω)

X(ω) = a_n + a_{n –2}*ω² +… (четные степени ω)

Y(ω) = a_{n –1}* ω + a_{n –3}*ω³ +… (нечетные степени ω)

При ω=0, X=a_n , Y=0

При ω→0, X=∞(-∞), Y=∞(-∞) («+» или «-» зависит от степени n)

n=3, X= -∞, Y= -∞

n=5, X= ∞, Y= ∞

Если изменять ω от 0 до ∞, то D(jω) будет описывать некоторую траекторию, которая будет называться годографом Михайлова.

Для устойчивости линейной системыn-порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(jω) изменении ω от 0 до ∞ = n*π/2

Другими словами требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно n-квадрантов против часовой стрелки, все время огибая начало координат.

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

Если нарушается процесс обхода, то система не устойчива.

Для того чтобы система была устойчивой необходимо, чтобы нули X и Y чередовались с ростом ω, начиная с ω=0.

X(ω)=0 Y(ω)=0

Для того, чтобы определить границы устойчивости, необходимо решить системы:

X(ω)=0

Y(ω)=0

Критерий устойчивости Найквиста.

Он базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ. Он дает правило, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы. W(jω) → Ф(jω)

Формулировка критерия в зависимости от исходного состояния системы может быть различной.

1. Система устойчива в разомкнутом состоянии.

Критерий Найквиста: Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы н. и д. чтобы АФЧХ разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами (-1; j0).

2. Система нейтральна в разомкнутом состоянии.

Т. е. характер. многочлен разомкнутой цепи L(S) имеет один нулевой корень, а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

Формулировка критерия остается прежней, но при этом в число переходов надо включать пунктирный переход окружности бесконечного радиуса, дополняющий годограф до положительного направления вещественной оси.

3. Система не устойчива в разомкнутом состоянии.