Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

приходим к окончательному ответу

закону (невырожденному), является диагональной, то координаты вектора X1; :::; Xn являются независимыми случайными величинами.

и, следовательно, формула (12.1) для совместной (n-мерной) плотности распределения имеет вид

т.е. случайные величины X1; :::; Xn являются независимыми (см. замечание 8.1).

Заметим, что если ¾ij = 0 для некоторых i и j или, что то же самое, коэффициент корреляции

½ij = 0, то говорят, что случайные величины Xi и Xj являются некоррелированными. Таким образом, из некоррелированности координат случайного вектора, распределенного по

нормальному закону, следует (в силу теоремы 8.3) их независимость. Поскольку независимые случайные величины являются некоррелированными, то для нормально распределенных случайных векторов некоррелированность координат равносильна их независимости.

~

3. Если вектор X = (X1;:::;Xn) имеет нормальный закон распределения с вектором средних

~ 0

m~ = (m1;:::;mn) и матрицей ковариаций §, то вектор X = (X1;:::;Xn¡1) также распределен по нормальному закону с вектором средних m~0 = (m1;:::;mn¡1) и матрицей ковариаций §0, полученной из матрицы § вычеркиванием последних строки и столбца.

Доказательство. Это свойство доказывается так же, как и свойство 1, но в силу громоздкости вывода оно здесь не приводится.

Из свойства 3 методом математической индукции можно показать, что любой набор координат

Найдем условную плотность распределения случайной величины X при условии Y = y.

Как известно (см. (12.1)–(12.2)), совместная двумерная плотность распределения случайных величин X и Y

58

Таким образом, условное распределение X при условии Y = y также является нормальным со средним значением (которое обозначим g(y))

Аналогично условное распределение Y при условии X = x является нормальным со средним

Пример 12.2 Известно, что рост X1 и вес X2 взрослого мужчины (и женщины), проживающего в одном регионе, достаточно хорошо описывается двумерным нормальным законом распределения. В частности, рост (в сантиметрах) и вес (в килограммах) мужчин некоторой страны Нормалии

Пусть известно, что вес случайно встреченного нормальца равен x2. Тогда его рост будет иметь

В частности, весу 70 кг соответствует среднее значение роста 169 см, весу 75 кг около 173 см и т.д.

Отметим, что в отличие от среднего роста g(x2), зависящего линейно от x2, среднее квадратичное отклонение роста ¾X1jx2 является постоянным, т.е. не зависит от x2. Графическое изображение зависимости роста от веса приведено на рис. 12.2. Здесь по оси абсцисс отложены значения роста нормальца, а по оси ординат его веса. Прямая линия x1 = g(x2) показывает зависимость среднего роста от веса. Условная плотность распределения pX1 (x1jx2) роста, как функции от веса x2, изображена в виде “срезов”.

Аналогичные вычисления показывают, что условная плотность распределения pX2 (x2jx1) веса нормальца X2 в зависимости от его роста x1 является плотностью нормального распределения с параметрами h(x1) ¼ 0;62x1 ¡ 33 и ¾X2jx1 ¼ 4;8; т.е. имеет вид

pX2 (x2jx1) = p461 ¼ e¡(x2+33¡0;62x1)2=46:

Рис. 12.3.

Графическое изображение зависимости веса от роста приведено на рис. 12.3.

59

Лекция 13

Предельные теоремы теории вероятностей

С самого начала изучения курса теории вероятностей мы говорили о том, что практическое применение методов этой математической дисциплины основывается на законе предельного постоянства частоты события, установленном эмпирически. Согласно этому закону, если один и тот же опыт повторяется многократно, то частота появления конкретного случайного события теряет свойства случайности и приближается к некоторому пределу, который в соответствии со статистическим определением вероятности (см. лекцию 2) и называют вероятностью.

Однако для того чтобы теория согласовывалась с практикой, при аксиоматическом определении вероятности, которое мы использовали, этот закон предельного постоянства частоты должен быть обоснован теоретически. Иначе говоря, он должен быть сформулирован и доказан в виде одной или нескольких теорем. В теории вероятностей теоремы такого типа обычно называют различными формами закона больших чисел. В этой лекции мы докажем некоторые формы этого закона, которые, в частности, поясняют смысл математического ожидания случайной величины, и то, почему его называют также средним значением.

Далее доказывается простейший вариант центральной предельной теоремы, уточняющей закон больших чисел. Центральная предельная теорема, в свою очередь, объясняет то широкое распространение, которое получило на практике нормальное распределение.

Определение 13.1 Если последовательность X1, X2, . . . , Xn, . . . случайных величин для любого " > 0 удовлетворяет условию

lim PfjXn ¡ Xj < "g = 1;

n!1

то говорят о сходимости этой последовательности к случайной величине X по вероятности. Сходимость к X по вероятности записывается в виде

P

Xn n¡!!1X:

Определение 13.2 Если последовательность X, X1, X2, . . . , Xn, . . . случайных величин удовлетворяет условию

Pf lim Xn = Xg = 1;

n!1

то говорят о сходимости этой последовательности к X с вероятностью 1 или почти наверное и обозначают

п.н.

Xn n¡!!1X:

Неравенства Чебышева. Закон больших чисел

Прежде чем приступить к рассмотрению закона больших чисел, докажем два неравенства Чебышева. Заметим, что неравенства Чебышева представляют и самостоятельный интерес, поскольку в современной теории вероятностей широко используются неравенства такого типа.

Теорема 13.1 Для каждой неотрицательной случайной величины X, имеющей математическое ожидание MX, при любом " > 0 справедливо соотношение

PfX > "g 6 M"X ;

называемое первым неравенством Чебышева.

60

Доказательство. Доказательство проведем для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения p(x) Поскольку случайная величина X является неотрицательной, то

Z+1

MX = xp(x)dx:

0

Так как подынтегральное выражение неотрицательное, то при уменьшении области интегрирования интеграл может только уменьшиться. Поэтому

Заменяя в подынтегральном выражении сомножитель x на ", имеем

Пример 13.1 Пусть X время опоздания студента на лекцию, причем известно, что MX = 1 мин. Воспользовавшись первым неравенством Чебышева, оценим вероятность PfX > 5g того, что студент опоздает не менее, чем на 5 мин.

Имеем

PfX > 5g 6 M5X = 0;2:

Таким образом, искомая вероятность не более 0;2, т.е. в среднем из каждых пяти студентов опаздывает, по крайней мере, на 5 мин не более чем один студент. #

Рассмотрим теперь случайную величину X, имеющую дисперсию DX = ¾2. Мы уже говорили, что дисперсия является показателем разброса X вокруг математического ожидания MX. Однако с точки зрения исследователя разброс естественнее характеризовать вероятностью PfjX ¡ MXj > "g отклонения случайной величины X от MX на величину, большую некоторого заданного ". Следующее неравенство позволяет оценить эту вероятность с помощью дисперсии ¾2.

Теорема 13.2 Для каждой случайной величины X, имеющей дисперсию DX = ¾2, при любом " > 0

справедливо второе неравенство Чебышева

¾2

PfjX ¡ MXj > "g 6 "2 :

Доказательство. Для доказательства воспользуемся утверждением первого неравенства Чебышева. Применяя к случайной величине Y = (X ¡ MX)2 это неравенство, в котором " заменено на "2, получаем

Рис. 13.2.

61