Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

Условные числовые характеристики

Рассмотрим двумерную случайную величину (X;Y ). В соответствии с результатами предыдущего параграфа можно определить условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла определенное значение y. Поскольку условное распределение обладает всеми свойствами обычного (безусловного) распределения, то по нему можно определить математическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики, которые естественно назвать условными.

Начнем со случая дискретной случайной величины (X;Y ). Пусть случайная величина X принимает значения x1;:::;xn, а случайная величина Y значения y1;:::;ym и пусть

условные вероятности случайной величине X принять значение xi при условии Y = yj.

Определение 11.3 Для дискретной двумерной случайной величины (X;Y ) значением M(X jY = yj) условного математического ожидания дискретной случайной величины X при условии

Y = yj, называют число

Xn

M(XjY = yj) = xi¼ij:

i=1

Далее для краткости будем писать M(Xjyj) вместо M(XjY = yj).

По аналогии с (безусловным) математическим ожиданием MX случайной величины X значение M(Xjyj) условного математического ожидания при условии Y = yj задает “среднее” значение случайной величины X, но при условии, что случайная величина Y приняла значение yj.

Таким же образом интерпретируют значение M(Y jxi) = M(Y jX = xi) условного математического ожидания случайной величины Y при условии X = xi.

Согласно определению 11.3, значение M(Xjyj) условного математического ожидания зависит от значения yj случайной величины Y , и только от него. Вспоминая понятие функции от случайной величины, приходим к следующему определению условного математического ожидания.

Определение 11.4 Условным математическим ожиданием M(XjY ) дискретной случайной величины X относительно дискретной случайной величины Y называют функцию M(XjY ) = g(Y ) от случайной величины Y , где область определения функции g(y) совпадает с множеством значений y1;:::;ym случайной величины Y , а каждому значению yj аргумента y поставлено в соответствие число g(yj) = M(Xjyj):

Подчеркнем еще раз, что условное математическое ожидание M(XjY ) является функцией от случайной величины, т.е. также случайной величиной.

Приведем примеры.

Пример 11.5 Пусть X1 и X2 числа успехов в первом и втором испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Найдем M(X1jX2). Воспользовавшись табл. 11.1, имеем:

M(X1j0) = 0 ¢ q + 1 ¢ p = p; M(X1j1) = 0 ¢ q + 1 ¢ p = p:

Таким образом, значения M(X1j0) и M(X1j1) условного математического ожидания совпадают для обоих значений 0 и 1 случайной величины X2 и равны p. Поэтому M(X1jX2) ´ p:

Определение 11.5 Для непрерывной двумерной случайной величины (X;Y ) значением

M(Xjy) = M(XjY = y) условного математического ожидания непрерывной случайной величины X при условии Y = y называют число

Z+1

M(Xjy) = xpX(xjy)dx;

¡1

где

p(x;y) pX(xjy) = pY (y)

является условной плотностью распределения случайной величины X при условии Y = y.

Определение 11.6 Для непрерывной двумерной случайной величины (X;Y ) условным математическим ожиданием M(XjY ) непрерывной случайной величины X относительно случайной величины Y называют функцию g(Y ) = M(XjY ) от случайной величины Y , принимающую значение g(y) = M(Xjy) при Y = y.

53

Проверьте самостоятельно, что свойства условного математического ожидания, выведенные для дискретного случая, справедливы и для непрерывного (исключение составляет свойство 1, поскольку непрерывная случайная величина не может принимать всего одно значение).

Резюмируя изложенное выше, можно сказать, что зависимость поведения “в среднем” случайной величины X от значения случайной величины Y характеризуется функцией g(y) = M(Xjy).

Условное математическое ожидание, как обычное (безусловное) математическое ожидание, характеризует центр рассеивания случайной величины. Однако оно не дает никакой информации о степени рассеивания случайной величины относительно среднего значения.

Поскольку степень рассеивания случайной величины X можно оценить с помощью дисперсии, то в качестве меры рассеивания случайной величины X относительно Y можно принять условную дисперсию, которую естественно определить аналогично обычной дисперсии, но используя условное распределение случайной величины X при условии Y = y.

Определение 11.7 Условной дисперсией D(XjY ) случайной величины X относительно (случайной величины) Y называют случайную величину, задаваемую формулой

D(XjY ) = M¡£X ¡ M(XjY )¤2jY ¢:

Приведенное определение применимо как для двумерной дискретной случайной величины, так и для непрерывной.

Для двумерной дискретной случайной величины (X;Y ) значение D(Xjyj) условной дисперсии X при условии Y = yj определяется формулой

D(Xjyj) = M¡[X¡M(Xjyj)]2¯¯Y ¢ = Xn £xi¡M(Xjyj)¤2¼ij;

i=1

а для двумерной непрерывной случайной величины (X;Y ) значение D(Xjy) условной дисперсии X при условии Y = y задается формулой

D(Xjy) = M¡[X¡M(Xjy)]2¯¯y¢ = Z+1£x¡M(Xjy)¤2pX(xjy)dx:

¡1

Условная дисперсия случайной величины X так же, как и условное математическое ожидание этой случайной величины, зависит от того значения, которое приняла случайная величина Y . Поэтому условная дисперсия D(XjY ) является функцией от случайной величины Y , область определения которой совпадает с множеством возможных значений случайной величины Y .

54

Лекция 12

Многомерное нормальное распределение

Нормальное распределение одномерной случайной величины рассматривалось в лекции 7. Сейчас обратимся к многомерному случаю. При этом сначала введем двумерное нормальное распределение

Напомним, что параметры mi и ¾i > 0; i = 1;2, этих распределений называют математическими ожиданиями и средними квадратическими отклонениями случайных величин X1 и X2.

Если X1 и X2 являются независимыми случайными величинами, то, согласно теореме 8.3,

pX1;X2 (x1;x2) = pX1 (x1)pX2 (x2)

и в этом случае плотность двумерного нормального распределения имеет вид

~

В общем случае вектор X = (X1;X2) имеет (невырожденное) двумерное нормальное распределение, если его плотность распределения определяется формулой

yi = xi ¡ mi; i = 1; 2; есть положительно определенная квадратичная форма (т.е. Q(y1;y2) > 0 для

любых (y1;y2) 2 R, (y1;y2) =6 (0;0)).

Двумерное нормальное распределение зависит от пяти параметров: m1, m2, ¾1, ¾2, ½. Можно показать, что m1 = MX1, m2 = MX2, ¾12 = DX1, ¾22 = DX2, ½ коэффициент корреляции случайных

величин X1 и X2.

Последние три параметра запишем для дальнейшего обобщения на случай n > 2 в виде мат-

~y = (y1; y2);

55

то квадратичную форму (12.2) можно записать в матричной форме в виде

e T

Q(~y) = ~y §~y ; (12.3)

где знак “T ” означает транспонирование. Действительно, если учитывать, что

e

то, подставляя § в (12.3), приходим к выражению (12.2). Далее, если заметить, что множитель

pp

¾1¾2 1 ¡ ½2 = det§;

где det§ определитель матрицы §, то выражение (12.1) можно записать в виде

Теперь можно записать плотность (невырожденного) нормального распределения для случай-

~

ного вектора X = (X1;:::;Xn) произвольной размерности n > 2.

~

Определение 12.1 Случайный вектор X = (X1;:::;Xn) назовем случайным вектором, имеющим нормальное распределение с вектором математических ожиданий m~ = (m1;:::;mn) и ковариационной матрицей § = (¾ij); i;j = 1;n; если его плотность имеет вид

где § матрица, обратная к матрице §.

pX1;:::;Xn (x1;:::;xn) = (p21¼)n e¡12 (x21+:::+x2n):

Такую плотность по аналогии с одномерным случаем называют плотностью стандартного многомерного (n-мерного) нормального распределения.

Дадим геометрическую интерпретацию плотности нормального распределения.

Начнем с двумерного случая. При этом (X1; X2) будем трактовать как координаты брошенной случайным образом на плоскость точки.

Функция pX1;X2 (x1;x2) задает некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Линии уровня этой поверхности имеют уравнение pX1;X2 (x1;x2) = a; которое с учетом (12.1) можно записать в виде

Углы ®i; i = 1;2, между осями симметрии эллипса и осью Ox1 можно найти из уравнения

56

Это уравнение дает два значения углов: ®1 и ®2 различающиеся на ¼2 .

Оси симметрии эллипса (12.5) называют осями рассеивания, сам эллипс эллипсом рассеивания (или эллипсом равной вероятности), а центр эллипса точку O0(m1;m2) центром рассеивания.

Из формулы (12.6), в частности, следует, что при ½ = 0, ¾1 6= ¾2 оси рассеивания параллельны координатным, при ¾1 = ¾2 = ¾ эллипс рассеивания представляет собой окружность радиуса ¾ и в качестве осей рассеивания можно взять любые две перпендикулярные прямые, проходящие через точку O0.

Вводя новую (прямоугольную) систему координат, оси которой совпадают с осями рассеивания,

Если изменить масштабы на осях канонической системы координат, взяв за единицы отсчета ¾10 и ¾20 соответственно, то в такой системе координат координаты случайной точки будут иметь нормальное распределение с нулевым вектором средних и единичной матрицей ковариаций, т.е. иметь двумерное стандартное нормальное распределение.

липсоида, называемого эллипсоидом рассеивания, его оси симметрии по-прежнему называются

осями рассеивания.

~

Будем трактовать n-мерный случайный вектор X как координаты случайной точки в n-мерном

пространстве. Пусть x01;:::;x0n каноническая система координат эллипсоидов рассеивания, тогда новые координаты (X10 ; :::; Xn0 ) случайной точки снова будут описываться n-мерным нормальным

законом, имеющим нулевой вектор средних m~0 и диагональную матрицу ковариаций §0, причем ее

02 e

диагональные элементы ¾i = 1=¸i, где ¸i, i = 1;n, собственные значения матрицы § с учетом их кратностей. Еще раз вводя новые координаты yi = ¾i0x0i (т.е изменяя масштабы на осях канонической системы координат), получаем, что в последней системе координат y1;:::;yn координаты случайной точки будут распределены по стандартному нормальному закону.

Таким образом, делая обратные преобразования, можно трактовать (невырожденный) нормаль-

~

но распределенный вектор X с произвольным вектором средних m~ и матрицей ковариаций § как координаты случайной точки в некоторой (вообще говоря, не ортонормированной, но ортогональной) прямолинейной системе координат, причем эта точка имеет стандартное нормальное распределение.

Рассмотрим основные свойства многомерного нормального распределения.

~

1. Закон распределения каждой из координат случайного вектора X, имеющего n-мерное нормальное распределение с вектором средних m~ = (m1;:::;mn) и матрицей ковариаций § = ¾ij, является нормальным с параметрами mi и ¾i.

Доказательство. Докажем это утверждение для случая n = 2 (общий случай требует более громоздких преобразований).

Найдем плотность распределения pX1 (x1), если pX1;X2 (x1;x2) определяется формулами (12.1) и (12.2). Воспользовавшись свойством 7 двумерной плотности распределения, имеем

57