Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

Пример 10.1 Пусть случайная величина X имеет равномерное в интервале (¡1; 1) распределение, а случайная величина Y связана со случайной величиной X функциональной зависимостью Y = X2. Покажем, что cov(X;Y ) = 0, несмотря на функциональную зависимость X и Y .

Действительно, учитывая равенство MX = 0 и свойство 5 ковариации, имеем

Определение 10.2 Случайные величины X и Y называют некоррелированными, если их ковариация равна нулю, т.е. cov(X;Y ) = 0:

Приведенный выше пример показывает, что из некоррелированности случайных величин не следует их независимоcть. Можно сказать, что ковариация случайных величин отражает, насколько их зависимость близка к линейной.

~

Рассмотрим теперь n-мерный случайный вектор X = (X1;:::;Xn):

Определение 10.3 Матрицей ковариаций (ковариационной матрицей) случайного век-

~

тора X называют матрицу § = (¾ij) = (cov(Xi;Xj)); состоящую из ковариаций случайных величин

Xi и Xj.

Пример 10.2 Рассмотрим двумерную случайную величину (X;Y ), распределенную по нормальному закону (см. лекцию ??). Тогда

Поскольку DX = ¾12; DY = ¾22, то матрица § представляет собой матрицу ковариаций (в данном случае понятие “ковариационная матрица” мы ввели раньше, нежели выяснили смысл этого понятия). #

Существенным недостатком ковариации является то, что ее размерность совпадает с произведением размерностей случайных величин. Естественно, хотелось бы иметь безразмерную характеристику степени линейной зависимости. Но это очень просто сделать достаточно поделить ковариацию случайных величин на произведение их средних квадратичных отклонений.

Определение 10.4 Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют число ½ = ½(X;Y ), определяемое равенством (предполагается, что DX > 0 и DY > 0)

cov(X;Y )

½ = pDX ¢ DY :

Теорема 10.2 Коэффициент корреляции имеет следующие свойства.

1.½(X;X) = 1.

2.Если случайные величины X и Y являются независимыми (и существуют DX > 0 и DY > 0), то ½(X;Y ) = 0.

3.½(a1X1 + b1; a2X2 + b2) = §½(X1;X2). При этом знак плюс нужно брать в том случае, когда a1 и a2 имеют одинаковые знаки, и минус в противном случае.

4.¡1 6 ½(X; Y ) 6 1.

5.j½(X; Y )j = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y связаны линейной зависимоcтью.

48

Доказательство. Доказательство теоремы следует из свойств ковариации, и мы предлагаем провести его самостоятельно.

Коэффициент корреляции отражает “степень линейной близости” случайных величин. При ½ > 0 говорят о положительной корреляционной зависимости X и Y , при ½ < 0 об отрицательной. Например, рост и вес человека связаны положительной корреляционной зависимостью, а температура и время сохранности продукта отрицательной. Однако, коэффициент корреляции (ковариация) может не улавливать “степень нелинейной близости” случайных величин.

~

По аналогии с ковариационной матрицей для случайного вектора X = (X1;:::;Xn) можно ввести корреляционную матрицу.

Определение 10.5 Корреляционной (нормированной ковариационной) матрицей слу-

~

чайного вектора X называют матрицу P = (½ij) = (½(Xi;Xj)); состоящую из коэффициентов корреляций случайных величин Xi и Xj.

49

Лекция 11

Условные характеристики случайных величин

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие условной вероятности, введенное в лекции 3. Там же было показано, что условная вероятность P(AjB) обладает всеми свойствами безусловной вероятности и так же, как и безусловная вероятность, представляет собой численную меру наступления события A, но только при условии, что событие B произошло.

Аналогом понятия условной вероятности для двух случайных величин X и Y является условный закон распределения одной из них, допустим, X при условии, что вторая случайная величина Y приняла определенное значение. С помощью условного закона распределения вводят условные числовые характеристики. Именно эти понятия и рассматриваются в настоящей лекции.

Условные распределения

Понятие условного распределения, как обычно, введем только для случаев дискретных и непрерывных случайных величин.

В случае двумерной дискретной случайной величины (X;Y ) будем предполагать для простоты изложения, что множества возможных значений случайных величин X и Y являются конечными, т.е. X и Y принимают значения xi, i = 1;n, и yj, j = 1;m, соответственно. В этом случае, как мы знаем, закон распределения двумерного случайного вектора (X;Y ) удобно задавать набором

вероятностей

pij = PfX = xi; Y = yjg

для всех значений i и j. Напомним, что, зная вероятности pij, нетрудно найти (см. 8.1) законы распределений каждой из координат по формулам

Определение 11.1 Для двумерной дискретной случайной величины (X;Y ) условной вероятностью ¼ij; i = 1;n; j = 1;m; того, что случайная величина X примет значение xi при условии Y = yj, называют условную вероятность события fX = xig при условии события fY = yjg, т.е.

При каждом j, j = 1;m, набор вероятностей ¼ij, i = 1;n, определяет, с какими вероятностями случайная величина X принимает различные значения xi, если известно, что случайная величина Y приняла значение yj. Иными словами, набор вероятностей ¼ij, i = 1;n, характеризует условное распределение дискретной случайной величины X при условии Y = yj.

Аналогично определяют условную вероятность ¼ij¤ того, что случайная величина Y примет значение yj при условии X = xi:

50

В общем случае (т.е. когда X и Y не обязательно дискретные случайные величины) хотелось бы ввести условную функцию распределения случайной величины X при условии Y = y по формуле

Однако это не всегда возможно (например, для непрерывной случайной величины Y событие fY = yg имеет нулевую вероятность, т.е. PfY = yg = 0). Поэтому воспользуемся предельным переходом, рассматривая вместо события fY = yg событие fy 6 Y < y + ¢g и устремляя ¢ к нулю.

Ограничимся случаем, когда двумерный случайный вектор (X;Y ) имеет непрерывную совместную плотность распределения p(x;y), а следовательно (cм. теорему 8.3), и плотности распределения

При сделанных предположениях о непрерывности случайного вектора (X;Y ) условная функция распределения FX(xjY = y) имеет производную по x, т.е. существует условная плотность распределения случайной величины X при условии Y = y:

Аналогично определяют условную функцию распределения FY (yjX = x) и условную плотность распределения pY (yjX = x) случайной величины Y при условии X = x:

51

Для краткости далее вместо pX(xjY = y) и pY (yjX = x) будем писать pX(xjy) и pY (yjx).

Итак, для непрерывного случайного вектора (X;Y ) мы пришли к следующему определению условной плотности распределения.

Определение 11.2 Условной плотностью распределения случайной величины X, являющейся координатой двумерного случайного вектора (X;Y ), при условии, что другая его координата приняла некоторое фиксированное значение y, т.е. Y = y, называют функцию pX(xjy), определяемую соотношением (11.4). Аналогично (см. (11.6) определяют условную плотность распределения pY (yjx) координаты Y при условии X = x.

Введенные понятия условное распределение (дискретной случайной величины), условная функция распределения и условная плотность распределения (для непрерывных случайных величин) называют условными законами распределения.

Пример 11.2 Пусть случайные величины X1 и X2 представляют собой координаты точки падения частицы, случайным образом брошенной в круг радиуса R с центром в начале координат (см. пример 8.4). Случайный вектор (X1;X2) имеет плотность распределения

что ордината X2 приняла значение x2. Так как плотность распределения pX2 (x2) случайной величины X2 имеет вид

значения, по абсолютной величине большие R. #

Для проверки независимости случайных величин часто удобно пользоваться следующим критерием.

Критерий независимости случайных величин X и Y . Случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда условное распределение (функция распределения, плотность распределения) случайной величины X при условии Y = y совпадает с безусловным распределением (функцией распределения, плотностью распределения) случайной величины X.

В частности, дискретные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда все условные вероятности

¼ij = PfX = xijY = yjg

совпадают с безусловными вероятностями

pXi = PfX = xig:

Пример 11.3 В двух испытаниях по схеме Бернулли (см. пример 11.1) числа успехов X1 и X2 в первом и втором испытаниях являются независимыми случайными величинами, поскольку в табл. 11.1 все три столбца совпадают. Этот факт нами уже был установлен другим способом в примере 8.5.

Пример 11.4 Условная плотность распределения случайной величины X1 (абсциссы точки падения при равномерном бросании частицы в круг, см. пример 11.2) при условии X2 = x2 (ординаты точки падения) равномерна, в то время как безусловная плотность X1 таковой не является. И в этом примере X1 и X2 зависимые случайные величины.

52