Файл: Лекции (Теория вероятности).pdf

Определение 5.2 Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F (x), значение которой в точке x равно вероятности события fX < xg, т.е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов !, для которых X(!) < x:

F (x) = PfX < xg:

Теорема 5.1 Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам.

1.0 6 F (x) 6 1:

2.F (x1) 6 F (x2) при x1 < x2, т.е. F (x) неубывающая функция.

4. Pfx1 6 X < x2g = F (x2) ¡ F (x1):

5. F (x) = F (x ¡ 0); где F (x ¡ 0) = lim F (y), т.е. F (x) непрерывная слева функция.

y!x¡0

Доказательство. При доказательстве будем использовать свойства вероятностей событий, доказанные в теореме 2.1.

Поскольку значение функции распределения в любой точке x является вероятностью, то из свойства 4 вероятности вытекает утверждение 1.

Если x1 < x2, то событие fX < x1g включено в событие fX < x2g и, согласно свойству 3,

PfX < x1g 6 PfX < x2g;

т.е. в соответствии с определением 5.2 выполнено утверждение 2.

Пусть x1, . . . , xn, . . . любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к +1. Событие fX < +1g, с одной стороны, является достоверным, а с другой стороны, представляет собой

объединение событий fX < xng. Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утверждении 3. Аналогично доказывают и первое равенство.

Событие fX < x2g при x1 < x2 представляет собой объединение двух непересекающихся событий: fX < x1g случайная величина X приняла значение, меньшее x1, и fx1 6X < x2g случайная величина X приняла значение, лежащее в промежутке [x1; x2). Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утверждение 4.

Наконец, пусть x1;:::;xn;::: любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к x. Событие fX < xg является объединением событий fX < xng. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утверждению 5.

Замечание 5.1 Можно показать, что любая неубывающая непрерывная слева функция F (x), удовлетворяющая условиям F (¡1) = 0 и F (+1) = 1; является функцией распределения некоторой случайной величины X. #

Дискретные случайные величины

Определение 5.3 Случайную величину X называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределения.

Определение 5.4 Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины X называют таблицу (табл. 5.1), состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней вероятности pi = PfX = xig того, что случайная величина примет эти значения.

Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее функцию распределения F (x). Пусть X дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения x1; x2; :::; xn расположены в порядке возрастания. Тогда для всех x 6 x1 событие fX < xg является невозможным и поэтому в соответствии с определением 5.2 F (x) = 0. (Если x1 < x 6 x2, то событие fX < xg состоит из тех и только тех элементарных исходов !, для которых X(!) = x1, и, следовательно, F (x) = p1:

Аналогично при x2 < x 6 x3 событие fX < xg состоит из элементарных исходов !, для которых либо X(!) = x1, либо X(!) = x2, т.е.

fX < xg = fX = x1g + fX = x2g;

21

а следовательно, F (x) = p1 + p2 и т.д. Наконец, при x > xn событие fX < xg достоверно и F (x) = 1: Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочнопостоянной функцией, принимающей на промежутке (¡1;x1] значение 0, на промежутках (xi;xi+1],

1 6 i < n, значение p1 + ::: + pi и на промежутке (xn;+1) значение 1.

Для задания закона распределения дискретной случайной величины, наряду с рядом распределения и функцией распределения используют другие способы. Так, его можно задать аналитически в виде некоторой формулы. Например, распределение игральной кости (см. пример 5.1) описывают

формулой PfX = ig = 16;i = 1;6:

Непрерывные случайные величины

Определение 5.5 Непрерывной называют случайную величину X, функцию распределения

которой F (x) можно представить в виде

¡1

Функцию p(x) называют плотностью распределения (вероятностей) случайной величины

X.

Предполагают, что несобственный интеграл в представлении (5.1) сходится. Все реально встречающиеся плотности распределения

случайных величин являются непрерывными (за исключением, быть может, конечного числа точек) функциями. Следовательно, функция распределения для непрерывной случайной величины является непрерывной на всей числовой оси и в точках непрерывности плотности распределения p(x)

что следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом. Только такие случайные величины мы и будем рассматривать в дальнейшем. На рис. 5.1 изображен типичный вид плотности распределения.

Теорема 5.2 Плотность распределения обладает следующими свойствами. 1) p(x) > 0. 2) Pfx1 6 X < x2g = Rx2p(x)dx.

3)+R1p(x)dx = 1. x1

¡1

4)Pfx 6 X < x + ¢xg ¼ p(x)¢x в точках непрерывности плотности распределения.

5)PfX = xg = 0.

Доказательство. Утверждение 1 следует из того, что плотность распределения является производной от функции распределения, в силу свойства 1 функции распределения она является неубывающей функцией, а производная неубывающей функции неотрицательна.

Согласно свойству 2 функции распределения, Pfx1 6 X < x2g = F (x2) ¡ F (x1): Отсюда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и свойством аддитивности сходящегося несобственного интеграла имеем

Zx2 Zx1 Zx2

F (x2) ¡ F (x1) = p(x)dx ¡ p(x)dx = p(x)dx;

¡1 ¡1 x1

что и доказывает утверждение 2.

В частности, если x1 = ¡1; x2 = +1, то событие f¡1 < X < 1g является достоверным, и поэтому справедливо утверждение 3.

Согласно свойству 4 (см. теорему 5.1),

Pfx 6 X < x + ¢x) = F (x + ¢x) ¡ F (x) = ¢F (x):

Если ¢x “мал´о” (см. рис. 5.1), то имеем

¢F (x) ¼ dF (x) = F 0(x)¢x = p(x)¢x;

22

что и доказывает утверждение 4.

Наконец, поскольку в силу определения 5.5 функция распределения случайной величины есть несобственный интеграл от плотности, то она является непрерывной, что приводит нас к утверждению 5.

Замечание 5.2 В силу свойства 2 плотности распределения вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток [x1;x2) численно равна площади криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 5.1.

Согласно свойству 3 площадь, заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения, равна единице.

В соответствии со свойством 4 вероятность попадания случайной величины X в некоторый “малый” промежуток (x; x + ¢x) практически пропорциональна ¢x с коэффициентом пропорциональности, равным значению плотности распределения в точке x. Поэтому выражение p(x)¢x или p(x)dx называют иногда элементом вероятности. Можно также сказать, что непрерывная случайная величина реализует геометрическую схему с коэффициентом пропорциональности p(x), но только в “малой” окрестности точки x.

Наконец, согласно свойству 5, вероятность попадания в любую (заданную до опыта) точку для непрерывной случайной величины равна нулю. #

Функции от случайной величины

Пусть на вероятностном пространстве (-;B;P) задана случайная величина X = X(!). Рассмотрим действительную функцию y = '(x) действительного аргумента x (область определения которой включает в себя множество возможных значений случайной величины X).

Определение 5.6 Случайную величину Y , которая каждому элементарному исходу ! ставит в соответствие число Y (!) = '(X(!)); называют функцией '(X) (скалярной) от скалярной случайной величины X.

нить в один, приписав им суммарную вероятность. Функция

Y = '(X) от непрерывной случайной величины X может быть

как непрерывной, так и дискретной (если, например, множество значений функции '(X) конечное или счетное).

Теорема 5.3 Пусть случайная величина X имеет плотность pX(x). Пусть функция y = '(x) является монотонной, непрерывно дифференцируемой функцией. Обозначим x = Ã(y) функцию, обратную к y = '(x). Тогда плотность случайной величины Y = '(X) есть

Доказательство. Если функция '(x) является монотонной, то событие f'(X(!)) < yg эквивалентно событию fX(!) < Ã(y)g (в случае возрастающей функции '(x)) или событию fX(!) > Ã(y)g (в случае убывающей '(x)). Значит, для возрастающей функции '(x)

23

Оба эти случая можно записать в виде (5.3).

Теорема 5.4 Пусть случайная величина X имеет плотность pX(x). Пусть функция y = '(x) является кусочно монотонной функцией. Обозначим xi = Ãi(y), i = 1;k, прообразы точки y при отображении y = '(x). Если функции Ãi(y), i = 1;k, дифференцируемы, то плотность случайной величины Y = '(X) есть

Пример 5.4 Пусть случайная величина X имеет непрерывную функцию распределения F (x), которая является возрастающей функцией. Рассмотрим случайную величину Y = F (X). Она принимает значение только на промежутке [0; 1]. Обратная функция для функции y = F (x) есть

Ã(y) = F ¡1(y):

Функция Ã(y) при y 2 [0; 1], очевидно, удовлетворяет тождеству

F (Ã(y)) = y;

и, следовательно, в соответствии с формулой (5.6) имеем для y 2 [0; 1]:

FY (y) = F (F ¡1(y)) = y:

При y < 0 событие fY < yg является невозможным. Поэтому при y < 0

FY (y) = PfY < yg = 0:

При y > 1 событие fY < yg является достоверным и поэтому при y > 1

FY (y) = PfY < yg = 1:

Таким образом, случайная величина Y имеет равномерное распределение на отрезке [0; 1] (см. определение равномерного распределения на с. 32).

Переходя к обратной функции, видим, что случайная величина

имеет функцию распределения F (x), если случайная величина Y имеет равномерное распределение на отрезке [0; 1] .

Полученный результат широко применяют при моделировании случайных величин с заданной функцией распределения F (x). Действительно, если нужно смоделировать такую случайную величину, то достаточно иметь датчик случайных чисел Y , распределенных равномерно на отрезке [0; 1], и каждое такое число преобразовать по формуле (5.9).

Например, пусть нужно смоделировать реализацию случайной величины X с экспоненциальной функцией распределения (см. определение экспоненциального распределения на с. 32)

F (x) = 1 ¡ e¡¸x; x > 0;

24