Файл: математика.pdf

решение заданного дифференциального уравнения записывается следующим образом:

где Pl(x) и Ql(x) – многочлены степени l = max(m; n) с неопредел¸нными

коэффициентами; k – кратность корня характеристического уравнения ¸ = ® + i¯. Если ® + i¯ не является корнем характеристического уравнения, то k=0 и вид решения можно брать из таблицы.

Пример 17.Требуется найти общее решение неоднородного уравнения

y00 + 3y0 + 2y = ex:

Ранее было получено общее решение однородного уравнения:

Для нахождения решения неоднородного уравнения используем метод вариации произвольных постоянных. Решение будем искать в виде

y = C1(x)e¡x + C2(x)e¡2x:

Дифференцируя это выражение, получаем:

y0 = C10 (x)e¡x + C20 (x)e¡2x ¡ C1e¡x ¡ 2C2e¡2x:

Положим

C10 (x)e¡x + C20 (x)e¡2x = 0;

тогда

y0 = ¡C1e¡x ¡ 2C2e¡2x:

Дифференцируя, получим вторую производную:

y00 = ¡C10 e¡x ¡ 2C20 e¡2x + C1e¡x + 4C2e¡2x:

Подставляя выражения для y, y0, y00 в решаемое уравнение, получим

¡C10 e¡x ¡ 2C20 e¡2x + C1e¡x + 4C2e¡2x ¡ 3C1e¡x ¡ 6C2e¡2x+

+2C1e¡x + 2C2e¡2x = ex;

или

¡C10 e¡x ¡ 2C20 e¡2x = ex:

Вместе с ранее полученным соотношением оно образует систему двух линейных уравнений для определения C10 и C20 :

¡C01e¡x ¡ 2C20 e¡2x = ex; C01e¡x + C20 e¡2x = 0;

42

решая которую, получаем:

C01 = e2x; C02 = ¡e3x;

откуда получается:

C1 = 12e2x + D1;

C2 = ¡13e3x + D2;

где D1 и D2 – произвольные постоянные. Подставляя эти выражения в формулу для решения, получаем общее решение неоднородного уравнения:

y = e2x + D1e¡x ¡ e3x + D2e¡2x = e6x + D1e¡x + D2e¡2x:

Решение неоднородного уравнения можно получить значительно проще. Согласно таблице подстановок, его надо искать в виде y = Aex. Подставляя это выражение в неоднородное уравнение, получим

Aex + 3Aex + 2Aex = ex;

Откуда получается A = 1=6,

y = ex :

6

Добавляя к полученному частному решению неоднородного уравнения общее решение однородного, окончательно получаем

y = e6x + 1e¡x + 2e¡2x;

что совпадает с ранее полученным решением.

Пример 18.Требуется найти общее решение неоднородного уравнения

y00 + 3y0 + 2y = e¡x:

Общее решение однородного уравнения, соответствующего этому уравнению, равно:

y = C1e¡x + C2e¡2x:

Ищем решение неоднородного уравнения в виде y = Ae¡x. В результате подстановки этого решения в уравнение, получаем:

Ae¡x ¡ 3Ae¡x + 2Ae¡x = e¡x;

и коэффициент A найти не уда¸тся, поскольку в левой части полученного соотношения все члены сокращаются. Объясняется это тем, что правая часть

43

решаемого уравнения является решением однородного уравнения. Поэтому будем искать решение в виде y = xAe¡x. Подставляя новое выражение в решение, получаем:

A(¡2 + x)e¡x + 3A(1 ¡ x)e¡x + 2Axe¡x = e¡x;

Откуда получается A = 1, а общее решение неоднородного уравнения равно

y = C1e¡x + C2e¡2x + xe¡x:

44

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТАБЛИЦЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ

45

Таблица 1

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

46

Таблица 2

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

47

Таблица 3

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

48

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

49

Задание 1. Исследовать сходимость рядов:

50