Файл: математика.pdf

и комплексные корни (корни в виде комплексных чисел). Например, согласно школьной математике квадратное уравнение x2¡2x+2=0 корней не имеет, поскольку дискриминант этого уравнения отрицателен. Если допускать существование и комплексных корней, то это уравнение имеет два корня: x1=1+i и x2=1¡i. Заметим, что комплексные корни многочленного уравнения с действительными коэффициентами обязательно встречаются парами комплексно сопряж¸нных корней.

Другое важное замечание. Опять же в школьной математике считается, что, например, уравнение x2¡2x+1=0 имеет один корень x=1. В высшей математике считается, что это уравнение имеет 2 одинаковых корня. При этом используется такое определение корней: корнями урав-

нения

a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = 0

называются числа x1; x2; : : : xn, удовлетворяющие равенству

a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = a0(x ¡ x1)(x ¡ x2) : : : (x ¡ xn):

Среди корней уравнения x1; x2; : : : xn могут быть одинаковые (кратные) корни и пары комплексных корней.

Верн¸мся к решению дифференциального уравнения (12).

Если корни характеристического уравнения ¸1; ¸2; : : : ; ¸n – разные действительные числа, n линейно независимых решений уравнения равны xi=e¸ix, i = 1; 2; : : : n и общее решение дифференциального уравнения представляется формулой

y = C1e¸1x + C2e¸2x + ¢ ¢ ¢ + Cne¸nx:

При наличии комплексных корней характеристического уравнения поступают следующим образом. Каждой паре комплексных корней характеристического уравнения ¸=®+i!

и¸=®¡i! соответствуют два комплексных решения однородного дифференциального уравнения y1 = e(®+i!)x и y2 = e(®¡i!)x. Из них можно получить действительные решения, используя свойства линейных систем

икомплексных функций. Известно, что сумма двух решений однородного уравнения, умноженная на постоянный множитель также является решением. Составим комбинацию из двух решений:

поскольку, из формулы Эйлера ei' = cos '+i sin ' вытекает соотношение

ei' + e¡i'

= cos ':

2

38

Аналогично, составляя комбинацию в виде разности решений, дел¸н- ной на 2i, получим, что решением однородного уравнения является функция y = e®x sin !x.

Резюмируя изложенное, получаем правило получения действительных решений, соответствующих комплексным корням характеристического уравнения:

Паре сопряженных, комплексных корней ¸=®§i! соответствует пара действительных решений дифференциального уравнения e®x cos !x и e®x sin !x.

Правило для определения решений в случае кратных корней – следующее. Если ¸ – корень характеристического уравнения кратности k, то наряду с решением дифференциального уравнения e¸x имеются решения xe¸x; x2e¸x; : : : xk¡1e¸x.

Используя эти правила, для любого характеристического уравнения можно получить в точности n линейно независимых решений.

Пример 14.Определим общее решение однородного уравнения

y00 + 3y0 + 2y = 0:

Применяя подстановку y=e¸x, получаем характеристическое уравнение

¸2 + 3¸ + 2 = 0;

которое имеет два действительных корня ¸1=¡1, ¸2=¡2. Общее решение дифференциального уравнения равно

y = C1e¡x + C2e¡2x:

Пример 15.Определим общее решение однородного уравнения

y00 + 2y0 + 2y = 0:

Характеристическое уравнение для него

¸2 + 2¸ + 2 = 0;

имеет два комплексных корня ¸1=¡1+i, ¸2=¡1¡i (®=¡1; !=1).

Общее комплексное решение дифференциального уравнения имеет вид

y = C1e(¡1+i)x + C2e(¡1¡i)x:

Подбором комплексных значений производных постоянных, из этого выражения можно получить действительное общее решение, но последнее обычно получается проще. Паре сопряженных комплексных корней ¸1=¡1+i и

39

¸2=¡1¡i соответствуют два линейно независимых, действительных решения дифференциального уравнения y = e¡x cos x и y = e¡x sin x, используя которые, общее решение записывается в виде

y = C1e¡x cos x + C2e¡x sin x:

Пример 16.Определим общее решение однородного уравнения

y00 + 2y0 + y = 0:

Характеристическое уравнение

¸2 + 2¸ + 1 = 0;

в этом случае имеет один действительный корень ¸=¡1 кратности 2, поэтому дифференциальное уравнение имеет два независимых решения y = e¡x и y = xe¡x, общее решение дифференциального уравнения равно

y = C1e¡x + C2xe¡x:

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Как известно из общей теории линейных дифференциальных уравнений, для нахождения общего решения неоднородного уравнения достаточно найти хотя бы одно решение неоднородного уравнения и добавить к нему общее решение однородного.

Универсальный метод нахождения решения линейного неоднородного уравнения – это метод вариации произвольных постоянных (в общем решении однородного уравнения).

Общее решение линейного, однородного дифференциального уравнения порядка n имеет вид:

y = C1y1(x) + C2y2(x) + ¢ ¢ ¢ + Cnyn(x);

где yi(x) –линейно независимые решения уравнения. Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

y = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + ¢ ¢ ¢ + Cn(x)yn(x);

40

где Ci теперь не постоянные, а функции независимого аргумента x, подлежащие определению в результате подстановки этого выражения в неоднородное уравнение.

При подстановке его надо дифференцировать n раз. После каждого дифференцирования, кроме последнего, суммы членов, зависящих от производных Ci0(x) приравниваются нулю. В результате для производных получается система n линейных алгебраических уравнений

C10 y1(x) + C20 y2(x) + : : : Cn0 yn(x) = 0; C10 y10 (x) + C20 y20 (x) + : : : Cn0 yn0 (x) = 0;

...

C10 y1(n¡1)(x) + C20 y2(n¡1)(x) + : : : Cn0 yn(n¡1)(x) = f(x):

Решая эту систему, получаем выражения для производных Ci0(x), интегрируя которые можно найти функции Ci(x) и, следовательно, общее решение неоднородного уравнения.

Реализация универсального метода связана со сравнительно громоздкими вычислениями. Поэтому, на практике используется метод, применимый в случае, когда коэффициенты дифференциального уравнения – постоянные, а функция f(x) имеет специальный вид. Допустимые правые части и структура искомого решения приводятся в таблице:

Если в правой части дифференциального уравнения стоят несколько функций, то по свойству линейных систем можно найти решение уравнения для каждой из функций, а потом, решения сложить.

Иногда, а именно, когда в правой части уравнения стоит решение однородного уравнения, этот способ может не сработать. В этом случае необходимо полученное с помощью таблицы выражение для решения помножить на x в соответствующей степени, равной степени соответствующего корня характеристического уравнения.

В общем случае для специального вида правой части

f(x) = e®x (Pm(x) cos ¯x + Qn sin ¯x)

41