ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.02.2025
Просмотров: 672
Скачиваний: 1
Очевидно, что эта величина меньше или равна аналогичной суммы для ряда B:
1 |
1 |
|
X |
kX |
|
uk · |
vk: |
(4) |
k=n+1 |
=n+1 |
Если ряд B суммируется аналитически (например, это геометрическая прогрессия), то сумму в правой части (4) можно сосчитать, а она да¸т границу ошибки оценивания величины A конечной суммой ряда.
Искусство исследователя заключается в том, чтобы найти аналитически суммируемый ряд, члены которого больше и не сильно отличаются от членов ряда A, в этом случае оценка погрешности будет близка к действительной погрешности.
Признак Даламбера
Пусть дан ряд с положительными членами |
1 |
uk. |
||
Если существует предел |
=1 |
|||
kP |
||||
lim |
un+1 |
= q; |
(5) |
|
n!1 |
un |
|||
то
если q < 1 – ряд сходится, если q > 1 – ряд расходится,
если q = 1 – признак не работает, требуется дополнительное исследо-
вание. |
un+1 |
|||||
Доказательство: Если |
> 1, то un+1 > un для всех n, и нарушается |
|||||
un |
||||||
необходимый признак сходимости. |
||||||
Из (5) следует, что для любого ² > 0 существует N, такое, что |
||||||
q ¡ ² · |
uk+1 |
· q+² |
(6) |
|||
uk |
||||||
для всех k > N. Поскольку проверяется только сходимость ряда, можно считать, что условие (6) выполняется для всех n, начиная с первого.
Перемножая неравенства, полученные из (6) для k = 1; : : : n, получа-
ем |
un+1 |
||
(q ¡ ²)n · |
· (q + ²)n: |
||
u1 |
Это неравенство означает, что общий член исследуемого ряда ограничен снизу и сверху общими членами геометрических прогрессий со знаменателями q¡² и q + ².
Если q < 1, подбором ² величина q + ² может быть сделана меньшей единицы.
9
Если q > 1, подбором ² величина q ¡ ² может быть сделана большей единицы.
Из признака сравнения рядов и условия сходимости геометрической прогрессии следуют утверждения признака Даламбера.
Признак Коши В признаке Коши для ряда с положительными членами
P1 uk вычисляется предел
k=1
p
q = lim n un:
n!1
Если q < 1 – ряд сходится, если q > 1 – ряд расходится,
если q = 1 – требуется дополнительное рассмотрение.
Признак доказывается аналогично тому, как доказывался признак Даламбера, опираясь на неравенство, следующее из определения q:
p
q ¡ ² · n un · q + ²:
Признаки Даламбера и Коши выведены из сравнения исследуемого ряда с геометрической прогрессией. Другие признаки могут быть получены из сравнения с другими рядами.
Интегральный признак Коши Интегральный признак основан на сравнении ряда с несобственным
интегралом.
Исследуется сходимость ряда P1 f(k), где f(x) – монотонно убываю-
k=1
щая и стремящаяся к нулю с ростом аргумента x функция.
Согласно интегральному признаку ряд P1 f(k) и интеграл R1f(x) dx
k=1
сходятся или расходятся одновременно. Доказательство следует из соотношения
n |
n |
n¡1 |
X |
X |
|
Sn ¡ f(x1) = k=2 f(xk) · Z1 |
f(x) · k=1 f(xk) = Sn¡1; |
вытекающего из Рис.1.
Исследование сходимости обобщ¸нного гармонического ряда
Рассмотрим ряд P1 1 , который называется обобщ¸нным гармони-
n=1 n®
ческим рядом. Исследуем его сходимость с помощью интегрального признака. Для этого вычислим интеграл
Z 1 dx:
1x®
10
При ® = 1 |
Z |
1 dx |
¯ |
1 |
|||||||||||
1 |
= 1; |
||||||||||||||
x |
= ln x¯1 |
||||||||||||||
¯ |
|||||||||||||||
интеграл и, следовательно, ряд расходится.¯ |
|||||||||||||||
При ® 6= 1 интеграл |
1 |
x® |
= 1 |
1 |
® x®1¡1 |
¯1 |
|||||||||
Z |
1 dx |
¡ |
¯ |
1 |
|||||||||||
¯ |
|||||||||||||||
¯ |
|||||||||||||||
расходится при ® < 1 и сходится при ® > 1.
Y |
Sn−1 |
f(x) |
|
O |
X |
Sn−f(x 1) |
Рис.1
Согласно интегральному признаку, ряд расходится при ® < 1 и сходится при ® > 1.
Окончательно имеем: ряд P1 1 расходится при ® · 1 и сходится при
® > 1.
n=1 n®
В следующих примерах требуется исследовать сходимость рядов с помощью одного из достаточных признаков сходимости.
Пример 5.
7 |
+ |
10 |
+ |
13 |
+ |
16 |
+ : : : |
|||
5 |
52 |
53 |
54 |
|||||||
Решение: Общий член ряда имеет вид un = 3n +n 4.
Воспользуемся признаком Даламбера:
5
lim |
un+1 |
= |
lim |
(3n + 7) ¢ 5n |
= |
1 |
< 1; |
5n ¢ 5 ¢ (3n + 4) |
5 |
||||||
n!1 |
un |
n!1 |
|||||
следовательно, ряд сходится.
11
1 |
µ |
5n + 1 |
¶ |
n |
|||||||||||||||
Пример 6.Определить сходимость ряда n=1 |
: |
||||||||||||||||||
9n + 5 |
|||||||||||||||||||
Решение: по признаку Коши |
P |
||||||||||||||||||
5n + 1 |
5 |
||||||||||||||||||
lim pun = |
lim |
= |
< 1; |
||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||
n!1 |
n!1 |
9n + 5 |
9 |
||||||||||||||||
следовательно, ряд сходится. |
|||||||||||||||||||
Пример 7.Определить сходимость ряда |
|||||||||||||||||||
1 + |
3 |
+ |
5 |
+ |
7 |
+ : : : : |
|||||||||||||
24 |
|||||||||||||||||||
34 |
44 |
||||||||||||||||||
Решение: Используем признак сравнения в предельной форме. Общий член
исходного ряда равен un= |
2n ¡ 1 |
. В качестве ряда |
1 vn возьм¸м ряд с общим |
|||
n4 |
||||||
=1 |
||||||
членом vn = |
1 |
, который сходится (® = 3): |
nP |
|||
3 |
||||||
n |
||||||
lim un = 2 = q:
n!1 vn
Поскольку 0 < q = 2 < 1, исходный ряд сходится.
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница Знакочередующимся называется ряд, члены которого попеременно
положительные или отрицательные.
Признак (теорема) Лейбница. Если члены ряда u1¡u2+u3¡u4+ : : : +(¡1)n+1un+ : : : ;
где uk > 0, удовлетворяют условиям: 1. un+1 · un;
2. lim un = 0,
n!1
то ряд сходится, его сумма положительна и не превышает первого члена.
Доказательство: сумма ч¸тного числа членов S2m может быть записана в виде
S2m = (u1 ¡ u2) + (u3 ¡ u4) + ¢ ¢ ¢ + (u2m¡1 ¡ u2m);
откуда следует, что она положительна. Та же сумма может быть записана в виде
S2m = u1 ¡ (u2 ¡ u3) ¡ (u4 ¡ u5) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ u2m · u1;
откуда видно, что она ограничена. Из этих двух фактов следует существование предела частичных сумм, содержащих ч¸тное число членов. Суммы неч¸тного числа членов имеют на один, стремящийся к нулю, член больше и следовательно, имеют тот же самый предел.
Погрешность аппроксимации конечной суммой членов знакочередующегося ряда не превышает модуля первого неучт¸нного члена.
12