Файл: лекция 04 и приложение.doc

50

Лекция 4.

Применение теории матриц к решению и исследованию систем линейных уравнений

Снова рассмотрим систему трёх линейных уравнений первой степени с тремя неизвестными (см. (1), лекция 2).

а11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
а21x1 + a22x2 + a23x3 = b2		( 1 )
а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Введём три матрицы:

	а11	а12	а13
А=	а21	а22	а23
	а31	а32	а33

	х1
X =	х2
	х3

---

	b1
B =	b2
	b3

Используя правило умножения матриц, систему (1) запишем в матричной форме

	а11	а12	а13	х1			b1
B =	а21	а22	а23	х2		=	b2			( 2 )
	а31	а32	а33	х3			b3

или

AX = B ( 3 )

Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Для его решения умножим левую и правую часть слева на матрицу А^-1:

А^-1АX = A^-1B

Так как А^-1A = E, а EX = X, то

X = A^-1B ( 4 )

---

или в развёрнутом виде

x1			A11	A21	A31	b1
x2	=	1/DA	A12	A22	A32 .	b2		( 5 )
x3			A13	A23	A33	b3

Произведя умножение матриц, находим

x1			b1A11 + b2A21 + b3A31
x2	=	1/DA	b1A12 + b2A22 + b3A32
x3			b1A13 + b2A23 + b3A33

---

Приравнивая элементы матриц, стоящих слева и справа, получаем

x1 =	b1A11 + b2A21 + b3A31
	DA

x2 =	b1A12 + b2A22 + b3A32
	DA

x3 =	b1A13 + b2A23 + b3A33
	DA

Это решение можно записать в форме определителей:

= = =

Пример 1. (Маша Куприянова).

Решить систему уравнений:

---

4x1 + x2 – x4 = -9,

X1 - 3x2 + 4x3 = -7,

3x2 - 2x3 + 4x4 = 12,

x1 + 2x2 – x3 - 3x4 = 0.

Представим её в виде матричного уравнения и запишем в виде (3), где

	4	1	0	1		x1		-9
A =	1	-3	4	0	, X =	x2	, B =	-7
	0	3	-2	4		x3		12
	1	2	-1	-3		x4		0

Решение матричного уравнения имеет вид (4). Найдём А^-1.

Имеем:

	4	1	0	1		0	7	-8	11
DA =	1	-3	4	0	=	0	5	-5	-3	=
	0	3	-2	4		0	3	-2	4
	1	2	-1	3		1	2	-1	-3

---