ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.02.2025
Просмотров: 766
Скачиваний: 2
где ax = |
dVx |
= d2 x |
, |
ay = |
dVy |
= d2 y |
, |
az = |
dVz |
= d2 z |
- являются |
dt dt2 |
dt dt2 |
dt dt2 |
|||||||||
проекциями вектора ускорения на оси координат.
Расшифруем физический смысл формулы (1.9) . Для этого берём
знаменатель dt равным единице и получаем: a = dV . Вектор ускорения a
1c
численно равен приращению вектора скорости за единицу времени. Единица измерения ускорения: [а] = м/c2.
1.2 Тангенциональная и нормальная составляющие ускорения
Из соотношений (1.7) и (1.9) можно получить: (здесь τ не является константой)
a = |
dV |
= |
d(V τ) |
= |
dV |
τ+V |
dτ |
(1.12) |
|||||||||||||||||
dt |
dt |
dt |
dt |
||||||||||||||||||||||
Можно показать, что производная |
d τ= |
V |
n , где R – радиус кривизны |
||||||||||||||||||||||
R |
|||||||||||||||||||||||||
dt |
|||||||||||||||||||||||||
траектории, n - единичный вектор нормали к траектории. |
|||||||||||||||||||||||||
Радиус кривизны траектории – это радиус |
|||||||||||||||||||||||||
R |
такой |
окружности, |
которая |
вписывается в |
|||||||||||||||||||||
данный участок траектории. |
|||||||||||||||||||||||||
С учетом последнего замечания (1.12) |
|||||||||||||||||||||||||
принимает вид: |
|||||||||||||||||||||||||
dV |
V 2 |
||||||||||||||||||||||||
a = |
τ |
+ |
n = a |
τ |
+ a |
n |
(1.13) |
||||||||||||||||||
dt |
R |
||||||||||||||||||||||||
Итак, ускорение можно всегда разложить |
|||||||||||||||||||||||||
на |
две |
составляющие: |
aτ - |
тангенциальную |
|||||||||||||||||||||
составляющую, направленную по касательной к траектории и на нормальную
составляющую an , перпендикулярную к траектории.
aτ= aτ= dV - тангенциальное ускорение приводит к изменению модуля
dt
скорости.
a |
= a |
= |
V2 |
- нормальное ускорение приводит к изменению |
|||
n |
n |
R |
|||||
направления скорости.
Модуль полного ускорения а можно выразить через аn и аτ:
dV 2 |
V2 |
2 |
||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||
a = |
a |
+ a |
= |
+ |
(1.14) |
|||||||
n |
τ |
dt |
R |
|||||||||
9
Полное ускорение всегда направленно в сторону вогнутости траектории.
(Рис. 1.6.)
Пример 1: Равномерное движение по окружности V=const
a |
= |
dV |
= 0 ; a |
= |
V2 |
; a = a |
|
n |
|||||||
τ |
dt |
R |
n |
||||
Пример 2: Ускоренное движение по прямой, a=const. Для прямой радиус кривизны R=∞.
a = |
dV |
; a |
= |
V2 |
= |
V2 |
= 0 ; a |
= a |
||
n |
||||||||||
τ dt |
R |
∞ |
τ |
|||||||
1.3. Угловая скорость и угловое ускорение |
||||||||||
Рассмотрим движение материальной |
||||||||||
точки по окружности радиуса R. |
||||||||||
Вектор угла поворота |
ϕ находят |
|||||||||
по |
правилу буравчика. |
|||||||||
По |
определению |
угловой |
||||||||
скоростьюω |
(омега) |
называют |
||||||||
производную угла поворота по времени. |
||||||||||
(1.15) |
||||||||||
ω= dϕ |
||||||||||
dt
(Физический смысл) Угловая скорость численно равна углу поворота за единицу времени. Единица измерения угловой скорости [ω]=рад/с. (Угол 1 рад=57.30).
Так как длина дуги dS связана с углом поворота dϕ соотношением
dS = R dϕ, где R= const., то |
V = |
dS |
= R |
dϕ |
= R ω |
dt |
dt |
||||
Мы получили связь линейной скорости точки V с её угловой скоростью вращения:
V |
= R |
ω |
(1.16) |
|||
10
Угловым |
ускорением |
ε |
(эпсилон) |
||||||||||||||||||||
называют производную угловой скорости |
|||||||||||||||||||||||
по времени: |
|||||||||||||||||||||||
ε = |
dω |
(1.17) |
|||||||||||||||||||||
dt |
ε |
||||||||||||||||||||||
Угловое |
ускорение |
численно |
|||||||||||||||||||||
равно изменению угловой скорости за |
|||||||||||||||||||||||
единицу времени: |
|||||||||||||||||||||||
dω |
d2ϕ |
||||||||||||||||||||||
ε = |
= |
(1.18) |
|||||||||||||||||||||
dt |
dt2 |
||||||||||||||||||||||
Нормальное и тангенциальное ускорения связаны с угловыми |
|||||||||||||||||||||||
величинами следующими соотношениями: |
|||||||||||||||||||||||
aτ = |
dV |
= |
d(R ω) |
= R ε |
(1.19) |
||||||||||||||||||
dt |
|||||||||||||||||||||||
dt |
|||||||||||||||||||||||
a |
= |
V2 |
= ω2 R2 = ω2 R |
(1.20) |
|||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||
R |
R |
||||||||||||||||||||||
= R |
|||||||||||||||||||||||
(R ε)2 + (ω2 R )2 |
|||||||||||||||||||||||
a = an2 + aτ2 = |
ε2 + ω4 |
(1.21) |
|||||||||||||||||||||
Единица измерения углового ускорения [ε]=рад/с2. |
|||||||||||||||||||||||
Задача. Материальная точка движется по окружности радиусом R=3м по закону φ=Аt2-Вt+2. Найти линейные и угловые скорости и ускорения в момент времени t=2c, если А=3рад/с2, В=1рад/с.
Решение. На первом шаге находим все величины в общем виде как
функции времени t. |
||
Сначала найдем угловую скорость: |
ω=dφ/dt=А·2t-В·1, |
|
затем угловое ускорение: |
ε=dε/dt=2А - не зависит |
|
от t |
||
Учитывая, что линейная скорость V связана с угловой скоростью |
||
соотношением V=R·ω, получаем: |
V=R·(2At-B), |
|
Далее вычисляем тангенциальное ускорение: |
аτ=R· ε=3·2A=6A, |
|
И нормальное ускорение |
an= ω2·R=·(2At-B)2·R. |
|
Полное ускорение а вычисляется по формуле (1.21).
На втором шаге проводим вычисления, подставляя в полученные общие формулы значения констант и подставляя значение времени t=2c. В результате получаем все значения в момент времени t=2c:
*При вычислениях следует иметь ввиду, что радиан – безразмерная величина, поэтому рад/с=1/с, а рад·м/с=м/с, и т.д.
ω=А·2t-В=3 рад/ с2·2·2с – 1 рад/с·=11 рад/с ε=2А=6 рад/с2,
V=R·(2At-B)=3 м·11 с-1=33 м/с, аτ= 6A=18 м/с2,
11
an= ω2·R=121с-2·3м=363 м/с2,
полное ускорение a = an2 + aτ2 = 363,4 м/с2. Конец вычислений.
Лекция 3. Динамика материальной точки
Динамика-раздел механики, изучающий движение тел под действием сил.
В основе динамики лежат 3 закона Ньютона, сформулированные им в 17
веке.
3.1 Первый закон Ньютона
Первый закон Ньютона (закон инерции): Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не заставит его изменить это состояние.
Этот закон не является очевидным, поскольку практика показывает, что для равномерного движения санок необходимо их тащить с некоторой силой. Сейчас мы знаем, что эта сила равна силе трения, но до Ньютона и Галилея считали, что для равномерного движения тела необходима фиксированная сила.
Данное свойство тел называют инертностью. Мерой инертности служит физическая величина, называемая массой тела m. Единица измерения [m]=кг.
Первый закон Ньютона справедлив не во всяких системах отсчёта.
Например, если в системе отсчёта А на тело не действуют силы и оно покоится, то в системе отсчёта В, которая движется относительно А с ускорением, мы увидим следующее; на тело силы не действуют, а оно движется с ускорением. Следовательно, в системе отсчёта В первый закон Ньютона не выполняется.
Система отсчёта, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной системой отсчёта. Первый закон Ньютона неявно указывает на существование инерциальных систем отсчёта.
Если есть одна инерциальная система отсчёта, то любая другая система отсчёта, которая движется относительно первой равномерно и прямолинейно, также будет инерциальной.
Строго говоря, все системы отсчёта, связанные с Землёй, не являются инерциальными из-за вращения Земли. Однако, это вращение медленное, и в большинстве задач систему отсчёта, связанную с Землёй, можно считать инерциальной.
С большой степенью точности, инерциальной можно считать Гелиоцентрическую систему отсчёта, центр которой располагается в центре Солнца, а оси направлены на удалённые звёзды.
3.2 Второй закон Ньютона
Силой называется векторная величина, характеризующая меру действия одного тела на другое.
Сила имеет величину (модуль F), направление в пространстве и точку приложения. Сила может появляться как при взаимном контакте тел, так и на удалении посредством гравитационных, электромагнитных и других полей.
12