Файл: Лекции по физике.pdf

4.4. Потенциальная энергия системы материальных точек

Конфигурацией системы материальных точек называется совокупность положений каждой точки системы.

Если силы, действующие на точки системы, зависят только от ее конфигурации, и сумма работ этих сил, при изменении конфигурации не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурацией, то такие силы называют консервативными.

В такой системе можно ввести понятие потенциальной энергии системы, при этом работа консервативных сил при изменении конфигурации будет равна:

где Wп(1), Wп(2) – значения потенциальной энергии системы в этих конфигурациях.

Некую конфигурацию можно принять за уровень с нулевой потенциальной энергией Wп=0, тогда Wп(1) будет равна работе консервативных сил по переводу системы из конфигурации (1) в конфигурацию (0).

Рассмотрим частный случай – изолированную систему из двух

взаимодействующих материальных точек, имеющих координаты r1 и r2 . Полная элементарная работа сил в системе равна:

dA = F12dr1 + F21dr

следовательно:

dA = F21(dr2 − dr1 ) = F21d(r2 − r1 ) = F21dr12

Здесь r12 = r2 − r1 - радиус-вектор точки 2 относительно точки 1, рис 4.5. Итак, работа и, следовательно, потенциальная

энергия изолированной системы из 2-х материальных точек зависит только от расстояния между ними.

4.5Примеры

4.5.1Потенциальная энергия в однородном поле тяжести

При перемещении точки с высоты Н на нулевой уровень Н=0 сила тяжести совершает работу A=mgH

WП=mgH+C (4.11)

где С-постоянная

4.5.2. Потенциальная энергия растянутой (или сжатой) пружины

Пусть х - отклонение груза от положения равновесия. Сила упругости пружины: F=-kx.

При возврате пружины в исходное состояние сила упругости совершает работу:

18

A = ∫0 δA = −k∫0 xdx = 1kx2

2

x x

4.5.3 Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек массой M и m.

Точку М считаем неподвижной. Принимая Wп при бесконечном удалении точек равной нулю, получим, что потенциальная энергия в некоторой точке r равна работе сил гравитации по перемещению массы m из данной точки r в бесконечность

Т.о. потенциальная энергия гравитационного поля, созданного двумя материальными точками, имеет вид:

Лекция 5. Законы сохранения

В механике существуют 3 закона сохранения.

1.Закон сохранения импульса. Оказывается, что этот закон обусловлен однородностью пространства, т.е. эквивалентностью всех уравнений при параллельном переносе замкнутой системы как целого.

2.Закон сохранения энергии обусловлен однородностью времени, т.е. эквивалентностью всех уравнений при сдвиге всех процессов на одинаковый временной интервал.

3.Закон сохранения момента импульса обусловлен изотропностью пространства, т.е. эквивалентностью всех уравнений при повороте механической системы на любой угол.

Есть и другие законы сохранения (заряда, четности и т.д.), но в механике эти законы мы рассматривать не будем.

5.1 Закон изменения импульса и закон сохранения импульса

Импульсом материальной точки называется

величина: P = m V. (Эту величину раньше называли

“количеством движения”) Вектор P направлен туда же, куда и вектор скорости V, но его длина в m раз длиннее.

19

Замкнутая система материальных точек – это совокупность материальных точек, на которую не действуют внешние, по отношению к системе, тела.

Закон сохранения импульса: Импульс замкнутой системы материальных точек сохраняется (т.е. во все моменты времени одинаков).

i

Это фундаментальный закон природы, который не требует доказательств. Но его можно вывести: для классической механики на основе 2-го и 3-го законов Ньютона.

Вывод закона изменения импульса для системы материальных точек: Пусть система состоит из N материальных точек,

рис. 5.2.

(Здесь мы использовали то, что производная от суммы равна сумме производных.)

Внутренние силы во второй сумме уравнения (5.2) попарно уничтожаются за счёт 3-го закона Ньютона (см. рис. 5.2.): ∑∑Fijвнут = 0.

И мы получаем закон изменения импульса для системы материальных точек:

т.е. мы вывели закон сохранения импульса.

20

Из (5.3) видно, что импульс системы сохраняется не только, когда нет внешних сил, т.е. для замкнутой системы, но и в случае Fрезвнеш = 0, когда система незамкнута, но результирующий вектор внешних сил равен нулю.

5.2. Центр масс и закон его движения

Центром масс системы из n материальных точек называют точку С

масса системы.

Воднородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести.

Вцентре масс может не оказаться никакой массы; это точка пространства.

Найдём скорость центра масс:

n

Величина ∑Pi = Pсист является импульсом системы материальных точек.

Итак, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе всей системы, помещённая в центр масс и движущейся под действием силы, равной результирующему вектору внешних сил.

В замкнутой системе Fiвнеш = 0, Fрезвнеш = ∑Fiвнеш = 0, следовательно

Итак, центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.

Система отсчёта, начало которой совпадает с центом масс, называется

системой центра масс.

21

Лекция 6 . Кинетическая энергия. Закон сохранения энергии 6.1. Кинетическая энергия

Пусть на материальную точку массой m действуют силы, результирующая которых F. Элементарная работа этих сил δA = (F dr). Учитывая, что

С учётом последнего замечания элементарная работа принимает вид:

Интегрируя работу вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2, получим:

В случае системы материальных точек уравнение (6.3) нужно написать для каждой материальной точки и затем сложить. В результате получим теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек.

системы (внешние, внутренние, консервативные и неконсервативные, т.е. все виды сил).

WK1 и WK2 – кинетическая энергия всех точек системы в состоянии 1 и 2 соответственно.

22