график этой функции изображён на РИС. 44.3А. С другой стороны, подставляя T = 0 в функцию распределения Ферми-Дирака, получим
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1, |
ε μ |
|
, |
|
1 |
|
|
e |
|
1 |
|
f ε |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε μ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0, ε μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
kT |
T 0 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
здесь μ0 – химический потенциал электронного газа при T = 0. Таким образом,
(в общем случае μ ≠ εF).
Функция распределения электронов по энергиям
|
|
|
|
|
4πV |
|
2m |
3 2 |
ε , ε μ |
, |
|
F ε |
4πV |
3 2 |
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
2m |
ε f ε |
h |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, ε μ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
График этой функции представлен на РИС. 44.3Б. |
|
|
|
|
|
|
f(ε) |
|
|
F(ε) |
|
|
|
|
|
1
0 |
μ0 = εF |
ε 0 |
μ0 = εF |
ε |
|
а |
|
б |
|
|
|
Рис. 44.3 |
|
|
2. Расчёт энергии Ферми
Условие нормировки функции F(ε):
N dNε 0
При T = 0
ε |
4πV |
|
|
4πV |
3 2 ε |
3 2 |
|
8πV |
F |
3 2 |
|
N |
εdε 0dε |
|
|
3 |
2m |
3 |
2m |
F |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
h |
|
ε |
h |
|
3 2 |
|
3h |
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
3Nh3 |
2 3 |
1 |
|
|
3n 2 3 |
h2 |
|
|
|
εF |
|
|
|
|
|
|
|
, |
(44.1) |
|
8πV |
2m |
8m |
|
|
|
|
π |
|
|
|
где n |
N |
– концентрация электронов. |
|
V |
|
|
|
Численная оценка
n ~ 1028 м3, m ~ 10–30 кг εF = (3 ÷ 10) эВ
3. Расчёт средней энергии электрона
Среднее значение энергии электрона
При T = 0
Так как из (44.1) следует
3 2 |
ε |
3 2 |
|
|
|
4π |
|
|
|
3 |
2m |
|
dε |
|
|
3 |
2m |
|
|
|
|
|
|
|
nh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πε |
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
n |
3 2 |
8m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
ε |
5 2 |
3 |
|
|
8π 2m |
|
|
3h |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
3 |
|
3 2 |
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5h πε |
|
|
|
8m |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
Численная оценка
Средняя энергия электрона
ε
среднеквадратичная скорость электрона
4. Внутренняя энергия электронного газа
Внутренняя энергия 1 моля электронного газа
Найдём эффективную температуру классического идеального газа, внутренняя энергия 1 моля которого равна внутренней энергии 1 моля электронного газа при
T = 0:
32kTэфф 35εF Tэфф 52 εkF .
Численная оценка
Внутренняя энергия 1 моля электронного газа при T = 0
U 6 1023 3 1,6 10 19 Дж 300 кДж .
Для сравнения: внутренняя энергия
T = 300 К
1 моля классического идеального газа при
3RT 3 кДж !
Здесь R – универсальная газовая постоянная.
Эффективная температура классического идеального газа при εF = 5 эВ
|
|
|
19 |
|
T |
|
25 1,6 10 |
|
23 |
|
эфф |
|
|
|
|
5 1,38 10 |
Между классическими и квантовыми представлениями огромная разница!
6.4.4. Влияние температуры на функции распределения
При повышении температуры от абсолютного нуля до T электрон приобретает энергию
ε kT .
Повышение температуры влияет на электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми в полосе шириной kT80.
Можно получить, что химический потенциал электронного газа
Так как kT << εF, можно считать, что μ ≈ εF.
Функция распределения электронов по фазовым ячейкам
график этой функции показан на РИС. 44.4А. Функция распределения по энергиям
F ε 4hπV3 2m 3
график на РИС. 44.4Б.
При kT ≈ εF функция распределения (44.2) превращается в функцию распределения Максвелла-Больцмана.
Критерий вырождения газа
вырожденный газ |
невырожденный газ |
Критическая температура электронного газа
80 Это выражение нужно понимать так: энергия электронов отличается от уровня Ферми не более, чем на величину порядка kT.
kT ~ εF
а
2kT
F(ε)
б
Рис. 44.4
6.4.5. Теплоёмкость электронного газа
При T ≠ 0 средняя энергия электрона
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
εF 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
3 |
5π |
|
kT |
|
. |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
12 |
εF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Молярная теплоёмкость электронного газа |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
N |
|
ε |
|
3N |
ε |
5π2 k22T |
|
π2 kRT |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ε |
|
эл |
|
A T 5 |
A F 12 ε2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
F |
|
R = kNA. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По закону Дюлонга и Пти молярная теплоёмкость кристаллической решётки
Cреш 3R .
Сравним эти теплоёмкости:
Cэл π2kT .
Cреш 6εF
При низких температурах Cэл << Cреш.
346
Лекция 45
6.5. Электропроводность металлов
При возникновении в проводнике электрического поля напряжённостью E возникает электрический ток, т. е. упорядоченное движение электронов – дрейф.
Средняя скорость этого движения – скорость дрейфа u . Электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, под действием электрического поля переходят на вышележащие уровни.
Рассмотрим малый участок проводника сечением S , который электрон со средней дрейфовой скоростью проходит за время dt (РИС. 45.1). Модуль плотности тока
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
dQ |
|
enS |
|
udt |
enu ; |
S |
|
dt |
S |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
где n – концентрация электронов; с учётом знака заряда электрона
j enu .
Численная оценка
Дрейфовая скорость
электрона (см. 6.4.3)
, среднеквадратичная скорость теплового движения
Найдём, как зависит дрейфовая скорость электрона от напряжённости электрического поля. Рассмотрим процесс резкого включения и выключения поля: после включения поля электроны не сразу разгоняются, а после включения не сразу останавливаются. Поэтому изменение тока запаздывает по отношению к изменению поля.
Запишем II закон Ньютона для электрона в металле:
dt с
где m* – эффективная масса электрона, v – его скорость, Fс – тормозящая сила, описывающая влияние
соударений электрона с неоднородностями и узлами кристаллической решётки (РИС. 45.2). Положим
Fс αv .
Спроецируем уравнение (45.1) на ось x:
Разделим переменные и умножим уравнение на (–α):
