Файл: Lektsii_po_mekhanike.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.03.2025

Просмотров: 897

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

23 Способы задания движения

23.1Векторный способ задания движения

z

P

6

¸

~r(t)

-y

Положение движущейся материальной точки можно задать вектором

~

~r = OP , изменяющимся с течением времени по величине и по на-

ª

правлению относительно некоторой системы осей Ox, y, z. Этот век-

тор называется радиус-вектором точки.

x

Рис. 46

Уравнение ~r = ~r(t) называется уравнением движения точки.

Геометрическое место концов радиус-векторов ~r(t) называется траекторией точки P . Скорость

~ и ускорение точки определяются как первая и вторая производные радиуса-вектора точки

V ~a P P

по времени:

~

d~r

V =

(18)

dt

2

~r

~

~a =

d

=

dV

(19)

dt2

dt

23.2Координатный способ задания движения

z

P (x, y, z)

6

¸

~r(t)

~

~k -6 -y i

ª ~j

Координаты движущейся точки в выбранной системе выражаются как функции времени. Система координат может быть произвольной. Наиболее часто используются декартовы прямоугольные координаты, полярные координаты, сферические, цилиндрические. Для декартовых прямоугольных координат задают три независимые функции времени

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

ª

Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декарто-

вой системе координат.

x

Рис. 47

Скорость и ускорение точки P при таком способе задания движения определяются следующими

выражениями:

~

~

~

~

(20)

V = Vxi + Vyj + Vz k

~

~

~

(21)

~a = axi + ayj + az k

dx

dy

dz

Vx =

; Vy =

; Vz

=

(22)

dt

dt

dt

ax =

d2x

=

dVx

; ay

=

d2y

=

dVy

; az =

d2z

=

dVz

.

(23)

2

dt

2

dt

2

dt

dt

dt

dt

Модули скорости и ускорения точки P равны:

V = |V~ | = q

,

a = |~a| = q

Vx2 + Vy2 + Vz2

ax2 + ay2 + az2

(24)

23.3Естественный способ задания движения

− 0 +

s(t)

:

Рис. 48

Движение точки определяется заданием ее траектории и уравнения движения по этой траектории. (Пример: расписание движения поездов по железной дороге.) Уравнение движения точки по траектории при естественном способе движения имеет вид: s = s(t). Здесь s — взятая с соответствующим знаком длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории от начала отсчета O на траектории до точки M .

Рис. 49

Рассмотрим на траектории движения точки три последовательных ее положения: точки M , M1 и

M2.

Если точка M1 занимает бесконечно близкое положение по отношению к точке M , то отрезок M M1 в пределе определит положение касательной к кривой в точке M .

Если траектория не является прямой линией, то три точки M , M1 и M2 определяют некоторую плоскость. Плоскость, занимающая предельное положение, когда точки M1 и M2 стремятся к точке M, называется соприкасающейся плоскостью. Касательная к кривой, построенная в точке M , лежит в этой плоскости.

В общем случае три точки M , M1 и M2 (при стремлении M1 и M2 к точке M ) однозначно определяют окружность в соприкасающейся плоскости, называемую окружностью кривизны или кругом кривизны. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны.

Хорды M M1 и M1M2 при неограниченном приближении точек M1 к M и M2 к M1 определят касательные к кривой в точках M и M1, соответственно, а следовательно, и направление скоростей в этих точках (~v и ~v1).

Рис. 50

Перенесем вектор скорости ~v1 в точку M . Два вектора определят плоскость. При неограниченном стремлении точки 1 к M эта плоскость будет соприкасающейся.

Геометрическая величина вектора AB определяется из равенства:

AB = AK + KB

(25)

Точки K и B находятся на одной и той же окружности с центром в точке M . Разделим это равенство на t:

AB

=

AK

+

KB

(26)

t

t

t

Отношение

AB

равно среднему ускорению точки M за время

t. Ускорение точки M является

t

t стремится к нулю.

предельным значением среднего ускорения, когда

Рассмотрим вектор AKt , который направлен по касательной к траектории. Предельное значение модуля этого вектора называется касательной или тангенциальной составляющей ускорения

точки и имеет вид:

τ

t→∞ ¯

t

¯ =

t→∞ || | −t | ||

dt| |

¯

¯

~

a =

lim

AK

lim

v~1 ~v

= d v

(27)

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Можно также рассматривать вектор касательного ускорения a~τ , направление которого совпадает с направлением скорости точки, а величина равна производной от модуля скорости точки.

Рис. 51

Обозначим через ε угол между векторами ~v и v~1. Тогда для предельного значения модуля вектора

¯

¯

AB

¯

¯

2

¯

t

¯

получим:

¯

¯

t→∞ ¯

¯

v1ε

KB

t→∞

t→∞

v1

S

v1

S v

¯

¯

t

t

t ρ

t→∞ ρ

t ρ

¯

¯

lim

¯

¯

=

lim

=

lim

=

lim

=

(28)

¯

¯

Здесь

S

— длина дуги

¯

1

¯

1

неограниченно

M M

. Предельное значение отрезка M O, когда точка M

приближается к M , называется радиусом кривизны траектории в точке M .

M1→M ¯

ε

¯

¯

S

¯

ρ =

lim

¯

¯

(29)

¯

¯

ε

2

π

→

π

2

Угол ϕ определяется выражением ϕ =

−

. Предельное значение этого угла при

t

0

равно

.

KB

Предельное значение вектора

обозначим через a~n:

t

a~n = lim

KB

(30)

t

t→0

Модуль этого вектора равен v2 , а сам вектор находится в соприкасающейся плоскости и направлен

ρ

ортогонально к скорости точки в сторону вогнутости траектории по главной нормали. Поэтому вектор a~n называют нормальным ускорением точки.

~

: ~aτ

b

6

~τ

:

-

~a

~nN

N

~an

Рис. 52

Рассмотрим систему осей координат с началом в точке M . Ось ~τ направим по касательной к

траектории точки, ось — по направлению главной нормали, а третью ось ~ — так, чтобы тройка

~n β

этих векторов образовала правую систему. Выбранные так оси представляют собой сопровождающий трехгранник, который называют также естественным трехгранником.

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника равны:

dv

v2

aτ =

; an =

; aβ = 0

(31)

dt

ρ

24 Кинематика абсолютно твердого тела

24.1Распределение скоростей в абсолютно твердом теле

Определение. Абсолютно твердым телом (А.Т.Т.) называют такую систему материальных точек, расстояния между двумя любыми точками которой остаются всегда неизменными.

Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения. Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела ϕ(t), угловой скорости и углового ускорения.

A

~r

B

¸

z

z0

µ

6~rA

Последние две величины векторные, но для вращатель-

~rB

ного движения их направление всегда постоянно — по

оси вращения. Поэтому в решении часто используются

y0

скалярные величины ωz (t) = ϕ˙ (t), εz (t) = ω˙ z (t), имеющие

0

-

смысл проекций этих векторов на ось вращения z. Точкой

x0ª

будем обозначать производную по времени. Рассмотрим,

как распределяются скорости точек движущегося произ-

вольно А.Т.Т

Рис. 53

d~rA

d~rB

~

~

Скорости точек A

и B твердого тела можно записать как VA =

dt

и VB =

dt

~

~

~

~

~

~

~

d(OB)

d(OA)

d(AB)

~

~

d(AB)

Но OB = OA + AB и

dt

=

dt

+

dt

, следовательно VB = VA +

dt

.

~

d~r

d(AB)

~

Назовем

dt

=

dt

скоростью точки В относительно точки A: VA/B

z

6

y

A

-

B

¸

x ª

~r

z

z0

µ

6~rA

~rB

y0

0

-

x0ª

~

d~r

d

~

~

~

VA/B =

dt

=

dt

(xi

+ yj

+ zk)

Axyz — система координат, жестко связанная с твердым телом; xyz — проекции вектора ~r на оси связанной системы. Так как x, y, z — константы,

d~r

~

~

~

= x

di

+ y

dj

+ z

dk

dt

dt

dt

dt

Рис. 54

Найдем проекции d~rdt на подвижные оси Axyz. Проекция на ось x:

d~r

d~r

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

di

dj

dk

dj

dk

|x =

· i

= x

· i

+ y

· i

+ z

· i

= y

· i

+ z

· i

(32)

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

Проекция на ось y:

d~r

d~r

~

~

di

|y =

· j

= x

dt

dt

dt

~

~

~

~

~

dj

~

dk

~

di

~

dk

~

· j

+ y dt

· j

+ z dt

· j

= xdt

· j

+ z dt

· j

(33)

Смотрите также файлы