Файл: Lektsii_po_mekhanike.pdf

Используя свойство двойного векторного умножения перепишем (53) как:

~

~

1

~

~

VP = VA +

ωz2

(ω~ · (ω~ · VA)) − VA · (ω~ · ω~)

(54)

~

И поскольку вектор ω~ перпендикулярен вектору VA, последнее выражение примет вид:

~

~

1

~

2

~

~

VP = VA +

ωz2

(−VA · ωz ) = VA − VA = 0

~

~

Т.о.,VP = 0, а точка P — мгновенный центр скоростей. Модуль вектора AP можно вычислить:

1

π

~

AP =

ω~

V~

sin

=

|VA|

(55)

ωz2 |

| · |

A| ·

2

ωz

~

VAx = 0

~

Ay направлена по вектору VA. Тогда имеем:

и VAy = |A| > 0 Выберем на оси Ax точку P . Ее

координаты: (x, 0). Скорость точки P :

¯

¯

V~P = V~A + ω~ AP~

= VA ~j +

0

0

ωz

= VA ~j + ωz

x

~j = (VA + ωz

x) ~j

(56)

×

·

¯

~

~

~

¯

·

·

·

· ·

¯

i

j

k

¯

¯

x

0

0

¯

¯

¯

¯

¯

VAx

¯

¯

Если x = −

, то Vp = 0 что и требовалось доказать.

ωz

¯

VA

¯

градусов по направлению вращения тела и на полученном луче отложить отрезок AP =

¯

¯.

ωz

~

~

¯

¯

Доказательство единственности мгновенного центра скоростей

¯

¯

для любой точки

~

~

~ ~

~

~

~

будем иметь VC = VP + ω~ × P C = VK + ω~ × KC, следовательно ω~ × P C = ω~ × KC.

~

~

~

~

~

~

Тогда ω~ × (P C − KC) = 0

и P C − KC = 0. Значит P C = KC, что и требовалось доказать.

Если точка — мгновенный центр скоростей, то для некоторой точки

имеем:

~

~

~

(57)

VA = VP + ω~ × P M

~

определяется выражением:

И с учетом того, что VP = 0 скорость точки

~

~

(58)

VA = ω~ × P M

VA = ωz · AP

(59)

~ ~

~

(60)

VB = VA + ω~ × AB

~

~

dAB

= ω~ × AB

(62)

dt

Поэтому выражение можно переписать:

~

~

(63)

~aB = ~aA + ~ε × AB + ω~ × (ω~ × AB)

~

~

~

~

2

, выражение можно переписать в

Учитывая, что ω~ × (ω~ × AB) = ω~ · (ω~ · AB) − AB · (ω~ · ω~) = −ABω

виде:

~

~

2

(64)

~

τ

~aB = ~aA + ~ε × AB − ω

AB

В выражении ~ε ×AB = ~aBA — касательное (вращательное) ускорение точки B относительно полюса

2

~

n

A; (-ω

AB) = ~aBA — нормальное (осестремительное) ускорение точки B относительно полюса A.

24.10 Плоское движение. Расчет механизмов

Скорость точки B тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либо

точки A того же тела, принимаемой за полюс (рис. 65):

~

(66)

~vB = ~vA + ~vBA, ~vBA = ω~1 × AB.

Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское

движение,

формулу

(66)

применяют

последовательно

для

всех

точек,

переходя

от одной точки, принимаемой за полюс, к другой. Схему вычислений в этом

y

*

случае удобно записывать в виде структурных формул

6

B

~vB

µ

~vA ¸

ϕ 1

A

1 B ,

(67)

A

x

ϕ1

−→

-

где

над

стрелкой

указан

номер

тела

или

наименование

Рис. 65

стержня,

которому

принадлежат

точки,

а

снизу

—

угол

ϕ

~

между осью x и вектором AB. В проекциях на оси x, y граф (67) дает уравнения

vBx = vAx − AB ω1z sin ϕ1,

(3)

vBy = vAy + AB ω1z cos ϕ1,

где ω1z — проекция угловой скорости тела 1 на ось z, перпендикулярную плоскости движения.

Если вращение происходит против часовой стрелки, то ω1z = |ω1|, а если — по часовой стрелке, то

ω1z = −|ω1|.

Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой

~

(68)

~aB = ~aA + ~ε × AB + ω~ × ~vBA.

~vBK

ωAB =

vB +vA

~vB

PAB A

B

AB

6

?

A

B

A

PAB

B

~vA

?~vB

ª

ωAB =

vB −vA

~vA

~vA?

AB

P

Рис. 66

Рис. 67

Рис. 68