Файл: Lektsii_po_mekhanike.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.03.2025

Просмотров: 908

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
~
= VA/B

Проекция на ось z:

d~r

d~r

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

di

dj

dk

di

dj

|z

=

· k = x

· k + y

· k + z

· k = x

· k + y

· k

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

В выражениях было учтено, что скалярное произведение d~dtq

· ~q

равно 0 , так как

d~q

d~q

d~q

d~q

~q · ~q = 1 =

· ~q + ~q ·

= 0 = 2

· ~q = 0 =

· ~q = 0

dt

dt

dt

dt

Далее отметим, что

~

~

~

~

~

~

di

~ ~

dj

di

~

~

dj

i · j = 0 = dt · j + i · dt

= 0 = dt

· j = −i · dt

С учетом (35) введем следующие обозначения:

~

~

dj

~

dk

~

ωx = dt

× k = − dt

× j;

~

~

dk

~

di

~

ωy =

dt

× i = −

dt

× k,

~

~

di

~

dj

~

ωz = dt

× j = −dt

× i

Тогда выражения (32-33) можно переписать:

Проекция на ось x:

d~r

dt |x = ωyz − ωz y

Проекция на ось y:

d~r

dt |y = ωz x − ωxz;

Проекция на ось z:

(34)

(35)

(36)

(37)

d~r

dt |z = ωxy − ωyx

Рассмотрим векторное произведение ω~ × ~r, где в качестве компонент вектора ω~ возьмем ωx, ωy, ωz :

ω~

~r =

ωx

ωy

ωz

~

~

~

×

i

j

k

x

y

z

= ~i(ωyz

−

ωz y) + ~j(ωz x

−

ωxz) + ~k(ωxy

−

ωyx)

(38)

d~r

Сравнивая (37) и (38), получаем dt = ω~ × ~r. Построеный таким образом вектор ~ω является единственным и не зависит от выбора точки A, называемой полюсом.

Определение. Вектор ω~ , проекции которого определяются формулами (36) называется вектором угловой скорости твердого тела.

~ ~ ~

В итоге получаем VB = VA + ω~ ×AB. Эта формула называется основной формулой кинематики А.Т.Т. и выражает Теорему о распределении скоростей при движении абсолютно твердого тела.

Скорость произвольной точки А.Т.Т. равняется геометрической сумме вектора скорости полюса и скорости точки во вращении вокруг полюса.

24.2 Теорема о независимости угловой скорости от выбора полюса

Теорема. Угловая скорость абсолютно твердого тела не зависит от выбора полюса.

Рис. 55 Доказательство.

Предположим, что это не так, т.е. ω~A =6 ω~B .

По теореме о распределении скоростей в твердом теле (с. 22)

~

~

~

VM = VA + ω~ A × AM

~

~

~

VM = VB + ω~B × BM

~ ~

~

Но VB = VA + ω~A × AB. Подставим это выражение в (40) :

~ ~

~

~

VM = VA + ω~ A × AB + ω~ B × BM

(39)

(40)

(41)

~

~

~

~ ~

~

Из (39) и (41) следует ω~A × AM = ω~ A × AB + ω~B × BM или ω~A × (AM − AB) − ω~B

× BM = 0. Но

~ ~ ~

~

~

~

AM = AB + BM , следовательно ω~ A × BM − ω~B × BM = 0

или (ω~ A − ω~ B ) × BM = 0.

Поэтому ~ωA = ω~B . Что и требовалось доказать.

24.3 Поступательное движение

Определение. Движение А.Т.Т. называется поступательным если любой отрезок проведенный в теле движется параллельно своему первоначальному положению.

Теорема. (о поступательном движении тела) При поступательном движении А.Т.Т. траектории всех

его точек при наложении совпадают, а скорость и ускорение всех точек А.Т.Т. равны между собой.

Доказательство.

Проведем в теле произвольный отрезок AB. Точки A и B произвольные.

A

~r

B

¸

z

z0

µ

6~rA

~rB

y0

0

-

x0ª

Рис. 56

Согласно определению траектория точки В получается из траектории точки смещением на постоянный вектор

~ . Следовательно траектории точек и совпадают при

AB

наложении. Найдем скорости и ускорения.

~

d~rA

~

d~rB

~

d~rB

d~rA

~

dAB

VA =

; VB =

~rB = ~rA + AB =

=

+

dt

dt

dt

dt

dt

~

По определению поступательного движения

d(AB)

= 0

dt

Следовательно

~

~

(42)

VB = VA

Дифференцируя (42) по времени, находим

~aB = ~aA

(43)

Что и требовалось доказать.

При поступательном движении А.Т.Т. достаточно знать (или задать) движение одной точки этого тела. Примером поступательного движения может служить движение кабины "Чертова колеса".

24.4 Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси

Определение. Вращением тела вокруг неподвижной оси

A

~

называется

такое движение, при

котором какие-либо

AB

¸

z

две точки тела остаются неподвижными. Можно пока-

z

0

µB

зать, что при этом все

точки на

оси, проходящей

че-

6~rA

~rB

рез две закрепленные точки, остаются неподвижными.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси.

-y0

Выберем произвольную точку A на неподвижной оси.

0

Для любой точки B, находящейся не на оси, имеем (см.

Распределение скоростей в абсолютно твердом теле)

x0ª

~

~

~

(44)

VB = VA + ω~ × AB

Рис. 57

Но VA = 0 по построению. Следовательно,

~

~

(45)

VB = ~ω × AB

(формула Эйлера). Построим связанную с телом систему координат в точке A. Ось Az неподвижна

~~ ~

инаправлена по неподвижной оси; i, j, k — единичные векторы, направленные вдоль осей связанной системы.

Тогда согласно раздела (см. Распределение скоростей в абсолютно твердом теле имеем следующие значения составляющих угловой скорости:

ωx =

dk~ ~j = 0;

ωy = dk~ ~i = 0;

ωz = di~ ~j =

dj~ ~i

т.е. , ω~ =

0

(46)

− dt ·

dt ·

dt ·

−dt ·

0

ωz

ω~

VB

6

M

A

~

AB

z

0

¸

h µzB

6~rA

z 6~rB

xª

- y

-y

0

0

x0ª

-

Следовательно, вектор угловой скорости вращения направлен по оси вращения. Скорость точки B направлена перпендикулярно плоскости, проходящей

через векторы и ~ . Значение этой скорости (со-

ω~ AB

гласно определению векторного произведения) равно:

|VB | = |~ω| · |AB| · sin (ω,~d ) =

x ·

~

~

~

ω h (47)

AB

т.е., произведению модуля угловой скорости вращения на расстояние от точки B до оси вращения.

Рис. 58

С учетом того, что точка A находится на неподвижной оси, ускорение точки B выражением:

~

d

~

d~ω

~

~

d~ω

~

~

dVB

dAB

=

ω~ × AB =

× AB + ω~ ×

=

× AB + ω~ × [ω~ × AB]

dt

dt

dt

dt

dt

d~ω

Вектор ~ε = dt называется вектором углового ускорения. Окончательно имеем:

~

~

~

dVB

~a =

= ~ε × AB + ω~ × [ω~ × AB] = a~τ + a~n

dt

определяется

(48)

(49)

~

ω~

6

MVB

M~aτ

A

~

¾

AB

¸

z

z0

~an µB

6~rA

z

6~rB

-

y

xª

0

-y

0

x0ª

-

В выражении (49) aτ называется вращательным ускорением в точке B, направление которого совпадает с направлением скорости точки B, an называется осестремительным ускорением в точке B и направлен к оси вращения.

Рис. 59

Рис. 60

~

di

~

Вычислим значение ωz = dt

· j как функцию угла поворота осей x и y вокруг неподвижной оси

z. Так как

~

~

~

i = cos ϕ · i

0

+ sin ϕ · j

0

(50)

~

~

~

0

+ cos ϕ · j

0

(51)

j = − sin ϕ · i

~

~

~

~

0

+ cos ϕ · ϕ˙ · j

0

0

+ cos ϕ · j] = ϕ˙

(52)

ωx = [− sin ϕ · ϕ˙ · i

] × [− sin ϕ · i

т.е. ωz = ϕ˙ , тогда модуль вектора углового ускорения равен ε = ϕ00

24.5Плоское движение. Мгновенный центр скоростей

Определение. Плоским движением абсолютно твердого тела называется такое движение, при котором любая точка тела остается в плоскости, параллельной некоторой заданной плоскости. При этом достаточно рассматривать движение сечения твердого тела, которое параллельно некоторой плоскости: все остальные сечения движутся так же. Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским. Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляет поступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек. Кроме того, в некоторых задачах иногда говорят, например, о скорости катящегося цилиндра или о скорости автомобиля, подразумевая при этом скорость точек центральной оси цилиндра или скорость кузова автомобиля, принимая его за точку.

Угловая скорость и ускорение для плоского движения — векторные величины, но их направления всегда перпендикулярны плоскости движения. Введем декартову систему координат, в которой плоскость xy совпадает с плоскостью движения. Тогда угловая скорость ~ω и ускорение ~ε направлены вдоль оси z. В решении задач удобно использовать скалярные величины — проекции этих векторов на ось z: ωz и εz . Индекс z иногда будем опускать.

Рассмотрим движение некоторого сечения абсолютно твердого тела (плоской фигуры), которое параллельно плоскости экрана (предполагается, что Вы работаете с плоским экраном!).

Для любой точки B рассматриваемого сечения имеет место

~ ~ ~

VB = VA + ω~ × AB

При этом вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости экрана:

~ ~ ~

ω~ = 0 · i + 0 · j + ωz · k

Определение. Мгновенным центром скоростей плоской фигуры называется точка на плоскости, связанной с этой фигурой, скорость которой в данный момент времени равняется нулю.

Теорема Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то мгновенный центр скоростей всегда существует и определяется единственным образом.

Доказательство существования

A.

1. Если скорость произвольной точки А в данный момент времени равна нулю, то эта точка — мгновенный центр скоростей.

~

6= 0, рассмотрим некоторую точку . Для скорости точки

~

~

~

2. Если VA

имеем VP

= VA + ω~ × AP

~

Выберем AP~

=

ω~ × VA

тогда:

ω2

~

1

V~

= V~

+ ω~

×

ω~ × VA

= V~

+

[ω~

×

[ω~

×

V~

]]

(53)

ωz2

P

A

ω2

A

A

Смотрите также файлы