Файл: lektsii_sopromat_6-10.pdf

Прямой чистый изгиб стержня

Прямой чистый изгиб – это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент Мх.

Гипотезы

1. Гипотеза Бернулли о плоских сечениях: поперечны сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и нормальными к искривленному нейтральному слою и после деформации. Использование этой гипотезы позволяет установить линейную зависимость деформации в точках поперечного сечения.

2. Гипотеза о не надавливании продольных волокон. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу, что

x y 0 .

Из этого следует, что в поперечном сечении стержня имеют место только нормальные напряжения σz, направленные вдоль оси стержня/

3. Материал стержня следует закону Гука (модель формы материала), то

есть

z E z .

Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями σz. При этом часть волокон находится в зоне растяжения, а другая часть - в зоне сжатия. Эти зоны разделены нейтральным слоем, не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю.

Вывод формулы для нормальных напряжений

Рассмотрим стержень в условиях прямого чистого изгиба с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси. Чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии. Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого пока неизвестно.

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе изображен справа рисунке. Считаем, что левое сечение закреплено. Ввиду малости угла dυ считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АA, отстоящего от нейтрального слоя на расстоянии у

AB00 ABdz

Из подобия треугольников С00 и 0AВ следует, что

Здесь y – это расстояние от нейтральной оси, положение которой пока неизвестно.

Для согласования знаков изгибающего момента Мх и нормальных напряжений σ в правой части формулы ставится знак минус, так как при Mх>0 нормальные напряжения σ при y>0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу.

Вычислим нормальное напряжение, растягивающее волокно АА, на основании закона Гука

E E y

Вэтой формуле неизвестны кривизна нейтрального слоя и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у.

Изгибающий момент Mх по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох.

2.круг

3.кольцо

4.для стандартных прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок) осевые моменты инерции сечений и моменты сопротивлений приведены в ГОСТ.

Определение положения нейтральной линии

Так как изгиб прямой, то должны выполняться условия уравнения статики

Подставляя в первое из этих уравнение выражение для напряжения, полу-

чим

Это выражение может быть равным нулю, если статический момент сечения S x равен нулю, а это означает, что нейтральная ось проходит через центр

тяжести сечения.

Рассмотрим второе уравнение статики

Это выражение может быть равным нулю, если центробежный момент инерции сечения равен нулю, а это означает, что оси Ох и Оу являются главными центральными.

То есть изгиб происходит относительно главных центральных осей, поэтому, прежде всего, необходимо их определение.

Прямой поперечный изгиб стержня

Как указывалось выше, при поперечном прямом изгибе в сечениях имеет место изгибающий момент M x (z) и поперечная сила Qy (z) . Поперечная сила

представляет собой равнодействующую распределенных сил, лежащих в плоскости сечения

Qy yz dF .

F

Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула для прямого поперечного изгиба, вообще говоря, неприменима, поскольку из-за сдвигов, вызываемых касательными напряжениями yz , происходит депланация поперечных се-

чении (отклонение от закона плоских сечений).

Однако для балок, для которых выполняется соотношение hl 4 , погреш-

ность невелика и ее применяют для определения нормальных напряжений поперечного изгиба как приближенную. При выводе условия прочности при чистом изгибе использовалась гипотеза об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон. При поперечном изгибе наблюдаются отклонения от этой гипотезы.

Нарушается и гипотеза о не надавливании продольных волокон, то есть имеют место нормальные напряжения в продольных сечениях стержня.

инормальными напряжениями y можно пренебречь, а нормальные напряжения

z вычисляются как в случае чистого изгиба.

Получим формулу для касательных напряжений τyz. Примем, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения. Эта предпосылка выполняется тем точнее, чем уже поперечное сечение.

Непосредственное определение напряжений τyz затруднительно, поэтому вычислим равные им (вследствие закона парности) касательные напряжения, возникающие на продольной площадке с координатой у элемента длиной dz, вырезанного из балки. Сам элемент показан ниже