ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.03.2025
Просмотров: 480
Скачиваний: 1
За начальное примем состояние, при котором на нить действует только собственный вес нити, что является минимальной нагрузкой. Если g - безраз-
мерная распределенная нагрузка от собственного веса, то н g . В инженерной
практике принято, что такое состоянии реализуется при температуре окружающей среды равной tmin 30 0C .
За конечное примем состояние, при котором на нить действует максимальная нагрузка. За максимальную нагрузку принимают состояние обледенения. Если max - безразмерная распределенная нагрузка от собственного веса и
обледенения, то k max . Принято, что такое состоянии реализуется при температуре окружающей среды равной tобл 5 0C .
Из выражений (23 и (24)определяется критическая длина нити
24 (t |
t |
) |
|||||||
l [ ] |
обл |
mib |
. |
(25) |
|||||
кр |
2 |
2 |
|||||||
max |
g |
||||||||
Из этого выражения следует, что если длина пролета меньше критической длины, то наибольшее напряжение в нити будет при низкой температуре. Если длина пролета больше критической, то наибольшее напряжение будет при наибольших нагрузках. Эти положения согласуются с приведенными выше результатами, полученными из выражения (23) при рассмотрении предельных значений длины пролета.
Вопросы к лекции.
1.Что такое «гибкая нить».
2.Расчет гибкой нити на прочность.
3.Проверка надежности нити.
4.Учет влияния различных факторов на напряжения и провисание нити.
Лекция 8.
Кручение стержней кругового поперечного сечения
Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор - крутящий момент Мz. Крутящий момент, с одной стороны, равен сумме моментов внутренних сил, лежащих в плоскости поперечного сечения стержня, относительно продольной оси стержня Oz.
M z dF . |
(8.1) |
F |
С другой стороны, крутящий момент в рассматриваемом сечении определяется внешними воздействиями и равен алгебраической сумме внешних моментов, расположенных слева или справа от рассматриваемого сечения,
M z (z) momz M z(k ) , |
(8.2) |
k K |
где К – множество внешних крутящих моментов, расположенных слева или справа от сечения, то есть момент M z (z) определяется из уравнения статики
Условимся считать Mz положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки.
Рассмотрим элементарную площадку dF, расположенную на расстоянии ρ от центра сечения. В площадке dF, лежащей в плоскости сечения действуют касательное напряжение τ , которое можно разложить на составляющие
Тогда соотношение (8.1) запишем в виде
(8.3)
Гипотезы теории кручения стержней кругового поперечного сечения
Из экспериментов известно, что если вал с предварительно нанесенной на его поверхности сеткой, закручивать, то первоначально прямые углы сетки искажаются. Контуры параллельных кругов не искривляются и расстояния между кругами не изменяются. Продольные линии сетки становятся винтовыми.
Из этого формулируются следующие гипотезы.
1. Кинематическая гипотеза: Поперечные сечения стержня, плоские и параллельные друг другу до деформации остаются плоскими и параллельными друг другу и после деформации (гипотеза Бернулли).
Из этого следует, что продольные деформации стержня равны нулю, то
есть |
z |
0 |
2.Гипотеза о не надавливании волокон: контуры поперечных сечений
иих радиусы не деформируются, то есть остаются круговыми. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачиваю-
щиеся при деформировании относительно оси стержня Оz. Отсюда следует, что деформации в плоскости сечения равны нулю, то есть
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Физическая гипотеза: материал стержня подчиняется закону Гука. Учи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тывая, что x |
y |
z 0 , из обобщенного закона Гука в форме |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
1 |
( x ( y z )) , y |
1 |
( y ( x z )) , z |
1 |
( z ( y x )) , |
||||||||||||||||||||||||||||||
E |
E |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
E |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
или в цилиндрических координатах |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
( |
( |
)) , |
1 |
( |
( |
)) , |
1 |
( |
( |
)) |
|||||||||||||||||||||||||
r |
r |
z |
r |
z |
z |
z |
r |
|||||||||||||||||||||||||||||
E |
E |
E |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
следует, что нормальные напряжения равны нулю
x y z 0 .
Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения, а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно, напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.
Тензор напряжений имеет вид
0 |
0 |
||||
~ |
0 |
0 |
|||
0 |
0 |
0 |
|||
Опытом установлена линейная зависимость между касательными напряжениями и деформацией, в качестве которой принят угол сдвига γ.
G ,
где коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига, который выражается через модуль Юнга
G |
E |
|
. |
||
2(1 ) |
||
Вывод формулы для касательных напряжений
Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и будем считать, что правое сечение элемента неподвижно.
При повороте левого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге AB, вызывая поворот волокна на угол сдвига
d |
d |
||||||
AB |
, |
||||||
dz |
dz |
||||||
AC |
где φ – угол закручивания.
Обозначим через ddz - погонный угол закручивания. Тогда
Так как сечение при деформации не искажается, касательное напряжение τ перпендикулярно радиусу ρ
Вычислим
M z dF G dF G dF G 2 dF G J p ,
F F F F
где J p - полярный момент инерции поперечного сечения. Запишем последнее выражение в виде
M z |
. |
|
G J p |
||
Используя закон Гука, получим формулу для касательных напряжений
G G G |
M z |
M z |
. |
|
GJ p |
J p |
|||
Перепишем последнюю формулу
(z, ) M z (z) ,
J p (z)
то есть, касательные напряжения в рассматриваемом сечении зависят от расстояния точки до центра тяжести сечения и, кроме того, они являются функцией крутящего момента и полярного момента инерции поперечного сечения по длине стержня.
В рассматриваем сечении касательное напряжение равно нулю в центре тяжести сечения, и принимают наибольшее значение на внешней поверхности стержня.
Введем обозначение Wp |
J p |
. Эта величина называется моментом сопро- |
max |
||
тивления, здесь max - наибольшее расстояние от центра тяжести до периферий-
ной поверхности. Как правило, это внешний радиус кругового или кольцевого поперечного сечения. Тогда наибольшие значения напряжений вычисляются по формуле
max max M z .
Wp
Формула для угла закручивания
Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня Величина GJp, называется жесткостью поперечного сечения при кручении.
Вычислим угол закручивания элемента длиной dz
и найдем полный угол закручивания стержня длиной l
l |
M z (z) |
|||
dl . |
||||
G J |
||||
0 |
||||
В случае если по длине стержня Мz и GJp постоянны, получим
Когда эти величины кусочно-постоянны, то вся длина стержня разбивается на участки так, чтобы в пределах каждого участка крутящий момент и жесткость стержня постоянны. В этом случае
n |
M (k ) l (k ) |
|||
(k ) (k ) . |
||||
z |
||||
k 1 G |
J p |
|||
Потенциальная энергия упругой деформации при кручении
Пусть имеет место линейная зависимость между крутящим моментом и углом закручивания/
Тогда приращение потенциальной энергии на длине стержня приблизительно равно приращению работы, которая равна dA 1/ 2 M z d , то есть площади под кривой M z ( ) .
dU dA |
1 |
M z d |
1 |
M z dz |
M z2 |
|||
M z |
. |
|||||||
GJ p |
||||||||
2 |
2 |
2GJ p |
||||||
Потенциальная энергия при кручении стержня длиной l равна
U |
l |
M z2 (z) |
dz . |
||
2GJ |
p |
||||
0 |
|||||
Если на длине l в подынтегральном выражении все величины постоянны, то
U |
M 2 |
l |
|
z |
. |
||
2GJ p |
|||
Если эти величины кусочно-постоянны, то, как и ранее, вся длина стержня разбивается на участки так, чтобы в пределах каждого участка крутящий момент и жесткость стержня постоянны. В этом случае
n (M (k ) )2 l (k ) |
||||
U |
z |
. |
||
2G |
(k ) |
(k ) |
||
k 1 |
J p |
|||