Файл: lektsii_sopromat_11-17.pdf

При статическом нагружении упругого стержня происходит превращение работы внешних нагрузок в потенциальную энергию деформации стержня. Статическое нагружение – это нагружение, при котором нагрузка возрастает постепенно, так что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь. При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой. Пренебрегая различными потерями ( электрическими, тепловыми и другими) будем считать, что вся работа внешних сил переходит в потенциальную энергию деформации балки.

При изгибе, как правило, изгибающий момент – это функция дифференцируема до второго порядка и имеющая скачки в некоторых сечениях, поэтому потенциальная энергия всей балки вычисляется как

Поправочный коэффициент β зависит от формы поперечного сечения

балки

В большинстве случаев применяются балки, для которых h/L << 1, при этом 1

Оценим порядок значений потенциальных энергий от изгибающего момента и от поперечной силы на примере.

Вычислим потенциальную энергию от изгибающего момента

M x (z) P z

Вычислим потенциальную энергию от поперечной силы Qy (z) P

То есть при l/h > 10 при поперечном изгибе потенциальной энергией от поперечной силы можно пренебречь.

Теорема Кастильано

Частная производная от потенциальной энергии системы по обобщенной силе ( силе или моменту) равна обобщенному перемещению (линейному перемещению или углу поворота) точки приложения обобщенной силы по ее направлению:

или

Здесь Pk , M xk - соответственно сила или момент, приложенные в точке k .

ствует. Вычислим работу Akk силы на ее собственном перемещении kk и соответствующую этой нагрузке потенциальную энергию системы U kk .

Здесь Mk - эпюра изгибающего момента во всей системе от действия силы Pk .. 2. Не снимая силы Pk , приложим внешнюю нагрузку. Вычислим работу

внешней нагрузки App и потенциальную энергию в системе U pp на ее собственных перемещениях pp .

Здесь Mр- эпюра изгибающего момента во всей системе от действия все внешней нагрузки.

3. При этом сила Pk совершает работу Akp на перемещении

Akp Pk kp .

Здесь kp перемещение балки в точке k от действия всей внешней нагрузки.

4. Полная работа внешних нагрузок и силы Pk должна быть равна полной потенциальной энергии накопленной системой

Итак, чтобы определить перемещение (или угол поворота) в точке k нужно знать эпюру изгибающего момента в системе от внешнего воздействия и эпюру изгибающего момента в системе от действия пробной силы (или момента), приложенной в точке k.

В самом общем виде при учете всех внутренних силовых факторов интеграл Максвелла – Мора имеет вид

Вычисление интеграла Максвелл-Мора

1. Если эпюры имеют простой аналитический вид, то интеграл вычисляется аналитическим методом.

Пример 3. Вычислить перемещение и угол поворота конца консоли по интегралу МаксвеллаМора и сравнить вычисления по теореме Кастильяно.

1.1. Вычисляем вертикальное перемещение конца балки

Из рисунка видно:

1.2. Вычисляем угол поворота конца балки

1.3. Вычисляем угол поворота конца балки, нагруженной моментом

Из рисунка видно: M x (z) M ,

2. Если эпюры имеют сложный характер, то вычисление интеграла производится приближенным методам. Здесь используется приближенная формула Симпсона

Формула Симпсона применима при выполнении условий:

1.Ось балки должна быть прямолинейной.

2.Жесткость балки EJx на рассматриваемой длине должна быть постоян-

ной.

3. Грузовая эпюра Мр должна быть монотонно изменяющейся функцией. 4. Эпюра M x должна быть линейной функцией.

Если эти условия не выполняются на всей длине балки, то ее длина разбивается на несколько участков, в пределах которых указанные ограничения выполняются.

Пример 4 Вычислить вертикальное перемещение в середине балки и угол поворота балки в левой опоре.