Файл: Ответы на экзамен (1 семестр).doc

Формула (1) может быть усложнена. Например, если – z=f(y), y=(x), x=() и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то z'_=z'_yy'_xx'_

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находитсялогарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что  является функцией от , то есть найдем производную сложной функции:

А тогда, выражая искомую производную , в результате имеем:

_{Билет 6}

Пусть функция  дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно  и нелинейного членов:

где  при .

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как  или . Таким образом:

Константу можно выносить за знак дифференциала.

---

2. Дифференциал суммы/разности.

Дифференциал суммы/разности функций равен суме/разности дифференциалов от каждого из слагаемых.

3. Дифференциал произведения.

4. Дифференциал частного.

Билет 7

Если функция  имеет производную в каждой точке  своей области определения, то ее производная  есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции  (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

Дифференциалом -го порядка  функции  называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

ейбница формула

        формула, выражающая производную n-го порядка (см. Дифференциальное исчисление) от произведения двух функций через производные сомножителей:

        

        .

---

         Эта формула была сообщена Г. Лейбницем в письме к И. Бернулли в 1695. Л. ф. облегчает вычисление производных высших порядков.

Билет 8

Для произвольной функции , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки  принимает вид:

Последнее слагаемое  называется остаточным членом в форме Пеано.

Формула (3') наз. формулой Тейлора с остаточ­ным членом в форме Лагранжа.

Билет 9

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала  лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала  лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция  определена на интервале  и имеет непрерывную, не равную нулю в точке  вторую производную. Тогда, если  всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

---

Определение

Точкой перегиба графика функции  называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция  имеет перегиб в точке , то или не существует.

Функция  называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

Функция  называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

Если производная функции  на некотором промежутке , то функция  возрастает на этом промежутке; если же на промежутке , то функция  убывает на этом промежутке.

Точка  называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство: .

---

Точка  называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности .

Если функция  имеет экстремум в точке , то ее производная  либо равна нулю, либо не существует.

Билет 10

Теорема Лагранжа:

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а,b] и имеет про­изводную на интервале (а,b). Тогда существует на ин­тервале (а,b) точка с, для которой выполняется равен­ство f(b)–f(a)=(b-a)f'(c) при (а<с<b){1}. Теорема Лагранжа имеет простой геометрический .смысл, если записать её в виде (f(b)–f(a))/(b–a)=f'(c) при (а<с<b).

Билет 11

Функция  называется первообразной для функции  на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом . То есть

---