Файл: Ответы на экзамен (1 семестр).doc

Свойства скалярного произведения:

1°     - симметричность.

2°    . Обозначается  и называется скалярный квадрат.

3°    Если , то 

4°    Если  и  и , то . Верно и обратное утверждение.

5°    

6°    

7°    

Билет 17

екторным произведением ненулевых векторов  и  называется вектор , обозначаемый символом  или , длина которого (рис. 1).

Свойства векторного произведения:

1°    , тогда и только тогда, когда 

2°    

3°    Модуль векторного произведения  равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах  и  (рис. 2), т.е.

---

4°    

5°    

Если векторы заданы своими координатами , , то векторное произведение находится по формуле:

Смешанным произведением трех векторов , ,  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор : 

Свойства смешанного произведения:

1°    

2°    

3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда 

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы ,  и  образуют левую тройку векторов.

5°    

6°    

---

7°    

8°    

9°    

10°    Тождество Якоби: 

Если векторы ,  и  заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Билет 18

Пло́скость — это поверхность, образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей из себя прямую (начертательная геометрия).

• Общее уравнение (полное) плоскости

где  и  — постоянные, причём  и  одновременно не равны нулю; в векторной форме:

• Уравнение плоскости в отрезках:

• Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору нормали :

• авнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

---

_{Билет 20}

Матрицей размера  называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из  строк и  столбцов, заполненная некоторыми элементами.

Количество строк и столбцов матрицы задают ее размеры.

Обозначение: 

Элементы матрицы  обозначаются , где  - номер строки, в которой находится элемент, а  - номер столбца.

Матрица размера  называется квадратной, число  называется порядком матрицы.

Матрица  называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. .

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом.

Квадратная матрица  называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Единичной матрицей  называется скалярная матрица порядка ,диагональные элементы которой равны 1.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

---

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Суммой матриц  и  одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица  такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы  на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Билет 21

Квадратной матрице Квадратная матрица -го порядка ставиться в соответствие число Определитель матрицы, называемое определителем матрицы или детерминантом.

 При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

 

То есть, если квадратная матрица  -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы  на число  в степени, равной порядку матриц.

---