Файл: Ответы на экзамен (1 семестр).doc

Билет №1

Число  называется пределом функции  на бесконечности или при , если для любого  существует число такое, что для всех  из того, что , выполняется неравенство .

Число  называется пределом функции  в точке , если для  такое, что для  из того, что следует, что  :  или при  .

Число  называется пределом функции  в точке , если для любой последовательности  , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

---

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число  называется правым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число  называется левым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 2). Левый предел обозначается 

Билет №2

Функция называется бесконечно малой функцией (б.М.Ф.) при (или в точке ), если Основные свойства бесконечно малых функций

1°   Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2°   Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3°   Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4°   Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5°   Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

---

6°   Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

(Правило Лопиталя).

Пусть функции  и  удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;2)  и  в этой окрестности;

3) ;

4)  существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем 

Билет №3

Функция  называется непрерывной в точке , если:

1. функция  определена в точке  и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции  в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е. 

4. Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называетсянепрерывной в этой области.

5. Функция  называется непрерывной справа в точке , если .

6. Функция  называется непрерывной слева в точке , если .

7. Функция  называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

8. Функция  называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть  и непрерывной слева в точке , то есть  .

---

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условийнепрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в точке и ее окрестности;

2. Существует конечный предел функции в точке ;

3. Это предел равен значению функции в точке , т.Е.

называется точкой разрыва функции.

Если в точке  существуют конечные пределы  и , такие, что , то точка  называется точкой разрыва первого рода.

Если хотя б один из пределов  или  не существует или равен бесконечности, то точка  называется точкой разрыва второго рода.

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции  в точке :  или функция  не определена в точке , то точка  называется точкой устранимого разрыва.

Билет 4

Производная функции:

Производной от функции f в точке х наз. пре­дел отношения её приращения y в этой точке к соответствующему приращению аргумента x, когда послед­нее стремится к нулю. Производную принято обозначать так:

f'(x)=lim_(x0)y/x=lim_(x0)f(x+x)–f(x)/x (1)

Геометрический смысл производной:

---

Пусть на интервале (а,b) задана непрерывная функ­ция у=f(x). Её график наз. непрерывной кривой. Обозначим его через Г. Зададим на Г точку А=(х,f(х)) (рис) и поставим целью определить касательную к Г в этой точке. Для этого введем на Г другую точку B=(x+x,f(x+x)), где x0 (рис. 1 изобра­жён случай x>0, а на рис. 2 – случай x<0). Пря­мую, проходящую через точки А и В, направленную в сторону возрастания х (отмеченную стрелкой), наз. секущей и обозначим через S. Угол, который S образует с положительным направлением оси х, обозначим через . Мы считаем, что –/2<< /2. При >0 угол отсчи­тывается от оси x против часовой стрелки, а при <0 по часовой стрелке. На данных рисунках >0. На рис. 1 x=AC, y=СВ, а на рис. 2 x=–AC, y=–СВ, В обоих случаях y/x=tg.

Определение: Касательной к кривой Г (y=f(x)) в её точке А=(х,f(х)) наз. направленная пря­мая Т, к которой стремится секущая S (направленная в сторону возрастания х прямая), проходящая через А и точку В=(x+x,f(x+x))Г, когда x>0. Мы доказали, что если непрерывная, функция у=f(х) имеет конечную производную f'(х) в точке х, то её гра­фик Г в соответствующей точке имеет касательную с угловым коэффициентом tg=f'(х) (–/2<</2). Обратно, существование предела lim=(–/2<</2)

влечет за собой существование конечной производной f'(х) и справедливость равенств (1), (2). Может случиться, что f имеет в точке х правую и левую производные, отличные между собой: f'(x)f'_пр(x).

Билет №5

Производная сложной функции:

Теорема №1: Если функция x=(t) имеет производ­ную в точке t, а функция y=f(x) имеет производную в точке х, то сложная функция у=F(t)=f[(t)] (1) имеет производную (по t) в точке t и справедлива равен­ство F'(t)=f'(x)'(t) (2) или y'_t=y'_xx'_t (3) Доказательство: Зададим t, ему соответствует значение х=(t). Придадим t приращение t0. это вызовет приращение x=(t+t)– (t). Так как функ­ция y=f(x) имеет производную в точке х, то на осно­вании равенства f'(x)=lim_(x0)y/x=lim_(x0)f(x+x)–f(x)/x, имеем

y=f'(x)x+(x)x (4), где (x)0 при х0. Будем считать, что (0)=0. Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т.к. если подставить в него x=0, то получится 0=0. Разделим теперь равенство (4) на t0: y/t=f'(x)(x/t)+ (x)(x/t) (5). Пусть t0. Тогда, потому что функция x(t)(t) имеет производную в точке t и, =>, непрерывна. Переходим в равенстве (5) к пределу при t0. Тогда x0 и (x)0, поэтому получим y'_t=f'(x)x'(t)+0x'(t)=f'(x)x'(t)=y'_xx'_t. Теорема доказана.

---