Файл: Ответы на экзамен (1 семестр).doc

Знак  называется интегралом,  - подынтегральным выражением,  - подынтегральной функцией, а  - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции  называется интегрированием функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Если в неопределенном интеграле  сделать подстановку , где функция  - функция с непрерывной первой производной, то тогда и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл  можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.

Билет 12

Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки, ни от выбора точек  в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается .

---

Таким образом, .

В этом случае функция  называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,  – подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением,  – переменной интегрирования; отрезок  называется промежутком интегрирования.

Пусть на отрезке  задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Рис. 2

Определенный интеграл  от неотрицательной функции  с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых  и , снизу – отрезком  оси Ох.

Физический смысл определенного интеграла:

Путь S, пройденный телом при прямолинейном движении со скоростью v(t) за интервал времени от t1 до t2, вычисляется по формуле

S=t2t1v(t)dt

---

Билет 13

Рассмотрим функцию  , заданную на отрезке  , и предположим, что она интегрируема на отрезке  . Тогда при любом эта функция будет интегрируема на отрезке  и, следовательно, функция

определена при всех  . При  мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что  для любой функции  и точки  из её области определения. Итак, функция  равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции  , не обязательно непрерывной. Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятиемопределённого интеграла и вычислением первообразной.

Если  непрерывна на отрезке  и  — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Теорема. Пусть дан интеграл , где  непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с  равенством . Если

---

1) 

2)  и  непрерывны на ,

3) при изменении z от α до β значения  не выходят за пределы отрезка  то

(5)

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид 

_{Билет 16}

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.

Сложение векторов  и  осуществляется по правилу треугольника.

Суммой  двух векторов  и  называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом  при условии, что конец вектора  и начало вектора  совпадают (рис. 1).

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

---

Определение

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора  и привести к общему началу, то вектор  совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 2). Причем начало вектора  совпадает с началом заданных векторов.

Разностью  векторов  и  называется вектор  такой, что выполняется условие:  (рис. 3).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов  и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Если векторы  и  заданы своими координатами: ,  , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

1

---