Файл: Высшая математика 2 (Лекции).docx

Например, рассмотренная выше функция имеет в точкеминимум, так какпри переходе через критическую точкуизменяет знак с минуса на плюс. Другие достаточные условия экстремума с помощью высших производных будут даны позже. А сейчас приведем схему построения графика функции

с помощью первой производной. Сделаем это для конкретной функции Напомним сначала информацию о вычислении асимптот.

Если то прямаявертикальная асимптота для функции Если существуют конечные пределы

то прямая асимптота кривой Таким образом, асимптоты функции

могут возникнуть при подходе к точкам разрыва второго рода этой функции либо на бесконечности.

Схема построения графика функции с помощью первой производной.

1. Находим область определения функции

2. Находим (если это возможно) нули функции и ее интервалы знакопостоянства. Этот пункт мы опускаем, так как не можем точно решить уравнение(его приближенный корень равен 1.1478).

3. Находим точки разрыва функции и её асимптоты.

а) вертикальные асимптоты: так как

наклонных и горизонтальных асимптот нет, так как один из выписанных ниже пределов бесконечен:

4. Находим производную и исследуем функцию на монотонность и локальные экстремумы. Имеем

Итак, критические точки. Применяя метод интервалов, будем иметь:

Значит, в точке производная изменяет знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функцияимеет локальный максимум, равный приближенноПо полученной информации строим график функцииОн буде иметь вид, указанный на рисунке выше. Чтобы закрепить на навыки, постройте график

(см. рисунок слева).

3. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Пусть функция дифференцируема в точкеТогда в точкеона имеет касательную, каждая точкакоторой удовлетворяет уравнению

Определение 3. Говорят, что кривая выпукла вверх в точке если существует такое, что в окрестностикриваянаходится

ниже своей касательной (3) в точке т.е. еслиЕсли же

то криваяназываетсявыпуклой внизв точке (часто говорят, о выпуклости или вогнутости в точке ). Говорят, что криваявыпукла вверх (выпукла вниз) на интервале если она выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точкеэтого интервала.

На рисунке Р.2 функция выпукла вверх в точкеа на Р.3 – выпукла вниз.

Теорема 3. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале. Тогда справедливы высказывания:

1. если то кривая выпукла вверх на

2. если то кривая выпукла вниз на

Доказательство. Пусть произвольная точка интервала Окружим её отрезком Так как функцияудовлетворяет на этом отрезке всем условиям теоремы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то для всехимеет место представление

С другой стороны, в точке функцияимеет касательную с уравнением .Значит,Отсюда видно, что если(тогда и), тозначит,

кривая выпукла вверх в точке Если же то то значит,кривая выпукла вниз в точке Теорема доказана.

Определение 4. Точканазывается точкой перегиба кривой если:а)дифференцируема в точке; б) криваяпри переходечерез точкуизменяет направление выпуклости (это равносильно тому, что разностьизменяет знак при переходечерез точку).

Необходимое условие точки перегиба. Если - точка перегиба и если существутто

Доказательство вытекает из локальной формулы Тейлора и из равенства

Замечание 4. К точкам, подозрительным на “перегиб”, следует отнести, прежде всего, точки , для которыхОднако “перегиб” может иметь место и в точках, в которыхвторая производная не существует или равна Например, в точке функцияимеет производнуюИ в этой точке эта функция имеет “перегиб”. Очевиден следующий результат.

Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функциядифференцируема в точкеи некоторой её окрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если при переходечерез точкувторая производная изменяет знак, то точкаперегиба кривой