Файл: В. А.МАТВЕЕВ.pdf

Задача11.3. Длякаждойизматрицуказатьтезначенияпараметра p R, чтосоответствующая матричная играимеетрешение вчистых стратегиях. Указать это решение.

104

§12. Биматричная игра

Рассмотрим конечную бескоалиционную игру (1.1) для двух лиц. Такая игра называется биматричной и обозначается

Обычно в такой игре задают две матрицы одинакового размера выигрышей первого и второго игроков. Строки этих матриц соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы матриц – стратегиям второго игрока. При этом в первой матрице представлены выигрыши первого игрока, а во второй матрице – выигрыши второго. Отметим, что матричная игра, рассмотренная в предыдущих параграфах, является специальным видом бескоалиционных игр для который В = -А.

Для биматричных игр стандартным образом определяется смешанное расширение, как это представлено в §5. В качестве решения биматричной игры (как и бескоалиционной игры) рассматривается равновесная по Нэшу ситуация Согласно

определения 3.1, ситуация (x*, y*) X ×Y в игре (12.1) называется равновесием по Нэшу, если выполнены неравенства x *T Ay * ≥ xT Ay * , x X ,

x *T Ay * ≥ x *T Ay , y Y.

Это решение означает, что стратегия первого игрока x* X является наилучшей его реакцией на действие второго игрока. Аналогично, стратегия второго игрока является наилучшей его реакцией на действие первого игрока. Эти отношения отражены в (3.2). Фактически, равновесная ситуация

(x*, y*) X ×Y при наилучших ответах – реакциях игроков

переходит в себя. Используем это свойство для нахождения равновесия.

Для y Y найдём те x X, что доставляют наибольшие значения функции f1(x, y). Это обозначается

105

Такимобразом, определяетсяотображениеx = xmax(y), вообщеговоря, многозначное.

Для x X найдём те y Y, что доставляют наибольшие значения функции f2(x, y). Это обозначается

Таким образом, определяется отображение y = ymax(x), вообще говоря, многозначное.

Рассмотрим те пары стратегий (x, y) X ×Y , что являются

Такие ситуации и только они являются равновесием по Нэшу в игре (12.1). Из (12.4) и (12.5) следует, что ситуация

(x, y) X ×Y является неподвижной точкой соответствующего

(многозначного) отображения множества ситуаций в себя. Вернёмся к рассмотрению примера 3.2 “Cемейный спор”.

Напомним, что эта биматричная игра задаётся таблицей

В §3 показано, что в этой игре имеется две ситуации равновесия в чистых стратегиях (Ф, Ф) и (Б, Б). В смешанном расширении игры эти ситуации обозначаются(x*, y*) = ((1, 0), (1, 0)), (x°, y°) = ((0, 1), (0, 1)) X ×Y.

Определим наилучшую реакцию первого игрока на действие второго игрока в соответствии с (12.2). Пусть x = ( α, 1- α), α

[0, 1] и y = (β, 1-β), β [0, 1]. Каждаястратегия первого(второго) игрока однозначно соответствует значению параметра α [0, 1]

106

(β [0, 1]). Соответствие(12.2) представимкаксоответствиемежду параметрами. В этом смысле (12.2) означает

α arg maxα [0,1]{(Ay )1 ,(Ay )2 } = arg maxα [0,1]{2β, 1− β},

0,β[0, 13),

α = [0,1],β = 13 ,

1,β( 1 ,1].

3

График многозначной функции α = α(β) изображён на рисунке

12.1а). Он соответствует ломаной ОMNВ.

Определим наилучшую реакцию второго игрока на действие

первого в соответствии с (12.3). Представим это как соответствие между параметрами. Тогда получаем

β arg max β [0,1]{(xT B)1 ,(xT B)2 } = arg max β [0,1]{α, 2 − 2α},

0,α[0, 23 ),

β = [0,1],α = 23 ,

1,α( 2 ,1].

3

График многозначной функции β= β( α) изображён на рисунке 12.1 б). Он соответствует ломаной ОPQB. Соберём графики двух

107

многозначных функции на одном рисунке 12.2. Общие точки двух графиков соответствуют равновесным ситуациям.

Для аналитического нахождения равновесия рассмотрим систему двух уравнений

0,β[0, 13),

α = [0,1],β= 13 ,

1,β( 1 ,1],

3

0,α[0, 23), β = [0,1],α = 23 ,

1,α(2 ,1].

3

Общих точек у двух многозначных отображений будет три: О(0, 0), В(1, 1), С(2/3, 1/3). Точки О, В определяют уже найденные решения (x*, y*) , (x°, y°) X хY. Точка С указывает на третье

Рис. 12.2.

равновесие в игре (x°, y°) = ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3) X хY.

В игре “Семейный спор” имеется три равновесия

108

Последнееравновесиеилиравновесиевсмешанныхстратегиях предлагаетсупругамвыбиратьпоходнафутболилинабалетслучайно и независимо. Тогда, если выбирать любимое проведение вечера с вероятностью 2/3, то супруги получат в среднем одинаковую полезность, равную 2/3 единицы. Итак, справедливость достигнута. Отметим, чтооттакогорешениякаждыйизсупруговполучитменьше пользы, чемвлюбомдругомвариантесовместногопроведениявечера. Образноговоря, вданномпримересправедливостьдостигнутазасчёт потери эффективности.

Пример 12.2. Решить биматричную игру, заданную двумя матрицами выигрышей первого и второго игроков

У игроков в этой игре нет доминируемых стратегий. В этой игре четыре ситуации в чистых стратегиях, но ни одна не удовлетворяет определению равновесия по Нэшу. Рассмотрим смешанное расширение игры Г(A, B). Обозначим множества стратегий игроков

Найдём равновесную ситуацию, как неподвижную точку соответствующего многозначного отображения множества ситуаций в себя. Определим наилучшую реакцию первого игрока на действие второго игрока в соответствии с (12.2). Тогда

α arg max α[0,1]{(Ay )1,(Ay )2 } ==arg max α[0,1]{2 −4β, −1+4β};

1,β [0, 38 ),

α = [0,1],β = 38 ,

0,β ( 3 ,1].

8

109