ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.03.2025
Просмотров: 1117
Скачиваний: 2
0 |
6 |
1 |
0 |
||||
2 |
5 |
0 |
2 |
||||
A = |
, B = |
. |
|||||
3 |
4 |
3 |
|||||
3 |
|||||||
В данной биматричной игре у игроков нет доминируемых стратегий. Но здесь имеется 6 ситуаций в чистых стратегиях и одна удовлетворяет определению равновесия по Нэшу. Это равновесие
(x*, y*) = ((0, 0, 1), (1, 0)) X×Y; f(x*, y*) = (3, 4).
В игре возможны и другие решения. Рассмотрим подход, основанный на алгоритме Лемке – Хаусона.
Проведём рассуждения со стороны первого игрока. Множество его смешанных стратегий обозначим
X ={(x , x |
2 |
,1 − x |
− x |
2 |
) R3 |
x , x |
2 |
[0,1], x + x |
2 |
≤1}. |
(16.1) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Это множество является фундаментальным симплексом в пространстве R3. Оно представлено на рисунке 16.1. Каждой
смешанной стратегии первого игрока поставим в соответствие выбранные чистые стратегии первого и второго игроков. Чистые стратегии первого игрока будем отмечать 1 ,2 ,3 , а чистые стратегии второго игрока отметим 4,5.
Каждой смешанной стратегии первого игрока поставим в соответствие, во-первых, чистые стратегии первого игрока, что
вэтой смешанной стратегии используются с вероятностью 0, вовторых, чистые стратегии второго игрока, что являются лучшими ответами на это действие первого. Так как биматричная игра невырожденная, то каждой смешанной стратегии первого игрока
витоге будет соответствовать не более, чем три чистые стратегии (первого и второго игроков). Для нахождений наилучших чистых ответов второго игрока рассмотрим его варианты выбора в зависимости от смешанной стратегии первого
136
1 |
0 |
||||||
xT B = (x1 , x2 , 1− x1 |
= (4 −3x1 |
− 4x2 , 3 −3x1 |
− x2 ). |
||||
− x2 ) |
0 |
2 |
|||||
4 |
3 |
||||||
Определим те стратегии первого игрока, на которые второй игрок отвечает первой чистой стратегией. В этом случае
4 −3x1 − 4x2 ≥3 −3x1 − x2 ,
и, значит, x2 ≤ 13 . Для смешанных стратегий с таким условием
выбираем первую чистую стратегию второго игрока. Для остальных стратегий первого игрока (т.е. стратегий с условием
x2 ≥ 13 ) выбираем вторую чистую стратегию второго игрока. Результаты выборов изображены на рисунке 16.1.
x3 |
|||
X 5 |
|||
X 4 |
|||
2 |
5 |
1 |
|
4 |
|||
x 2
X 3
X 1 |
3 |
X 2 |
Рис. 16.1.
x1
137
Здесь выбранные чистые стратегии первого игрока отмечены соответственно 1,2,3, а у второго игрока стратегии отмечены, как 4,5.
Выделим те стратегии первого игрока, которым соответствует три чистые стратегии. Из рисунка 16.1 следует, что это будут
X 1 = (1,0,0) →(2,3,4);
X 2 = (2 3 , 13 ,0) →(3, 4, 5);
X 3 = (0,1,0) → (1,3,5);
X 4 = (0, 13 , 23) →(1,4,5);
X 5 = (0,0,1) →(1,2,4).
Проведём аналогичные рассуждения со стороны второго игрока. Множество его смешанных стратегий обозначим
Y ={( y ,1− y ) R2 |
y [0,1]}. |
(16.2) |
||
1 |
1 |
1 |
||
Это множество является |
фундаментальным |
симплексом |
||
(отрезком) в пространстве R2 . |
Оно представлено на рисунке 16.2. |
|||
Каждой смешанной стратегии второго игрока поставим в соответствие выбранные чистые стратегии второго и первого игроков. Здесь выбранные чистые стратегии первого игрока отмечены соответственно 1,2,3, а у второго игрока стратегии отмечены, как 4,5.
Каждой смешанной стратегии второго игрока соответствуют, во-первых, чистые стратегии второго игрока, что
вэтой смешанной стратегии используются с вероятностью 0, вовторых, чистые стратегии первого игрока, что являются лучшими ответами на это действие второго. Так как биматричная игра невырожденная, то каждой смешанной стратегии второго игрока
витоге будет соответствовать не более, чем две чистые стратегии (первого и второго игроков). Для нахождений наилучших чистых ответов первого игрока рассмотрим его варианты выбора в
зависимости от смешанной стратегии второго игрока
138
y2
1 |
Y 4 |
||
4 |
1 |
||
Y 3 |
|||
2 |
|||
Y 2 |
|||
3 |
Y 1 |
||
5 |
y1 |
||
0 |
1 |
Рис. 16.2.
0 |
6 |
y |
|||
Ay = 2 |
5 |
= (6 −6 y ,5 −3y , 3). |
|||
− y |
|||||
1 |
|||||
3 |
3 |
||||
Первый игрок выбирает свою чистую стратегию, чтобы получить наибольший выигрыш. Этот выигрыш определяется функциями
f1 (y) = 6 −6 y , f2 ( y) = 5 −3y , f3 ( y) = 3.
Из рисунка 16.3 видно, что для y [0, 13] будет f1 (y ) = 6 −6y ≥ 5 −3y = f2 (y),
f1 ( y) = 6 −6 y ≥ 3 = f3 ( y).
139
f
6
5
f3 |
|||||||
3 |
f2 |
||||||
0 |
1 |
y |
|||||
2 |
f1 |
||||||
3 |
3 |
||||||
Рис. 16.3. |
|||||||
В этом случае первый игрок выбирает свою первую стратегию 1. Для y [ 13 , 23] будет
f2 ( y) = 5 −3y ≥ 6 −6 y = f1 ( y),
f2 ( y) = 5 −3y ≥ 3 = f3 (y).
Первый игрок выбирает свою чистую стратегию 2. И, наконец,
для y1 [23 ,1] выбирается стратегия 3. Соответствие между
стратегиями второго и первого игрока представлено на рисунке
16.3.
Выделим те стратегии второго игрока, которым соответствует две чистые стратегии. Из рисунка 16.2 следует, что это будут
Y 1 = (1,0) →(3,5);
Y 2 = (23 , 13) →(2,3);
Y 3 = ( 13 , 2 3) → (1,2);
Y 4 = (0,1) →(1,4).
140