ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.03.2025
Просмотров: 1111
Скачиваний: 2
Найдём
min max ( f1(β), f2 (β), f3 (β)) =
0≤β≤1 i {1,2,3}
min ( max (4 −3β, 5β−2, 5 −5β)).
0≤β≤1 i {1,2,3}
Для нахождения минимакса приведём геометрическую иллюстрацию на рис.6.3.
f
5 |
H |
|||||||||
4 |
J |
3 |
7 |
L |
f |
2 |
(β) |
|||
K |
, |
|||||||||
4 |
4 |
|||||||||
f1(β) |
||||||||||
0 |
1 |
β |
||||||||
−2 |
Рис. 6.3. |
f3 (β) |
||||||||
Вначале для каждого β [0,1] найдём
max (4 −3β, 5β−2, 5 −5β).
i {1,2,3}
На рис.6.3 такие максимумы для каждого β [0,1] образуют
ломаную – верхнюю огибающую HJKL. Затем на огибающей находим наименьшее значение, которое достигается в точке K.
Эта точка будет при β [0,1] , которое является решением
уравнения |
f1 = f2 , |
т.е. 4-3 β = 5 β -2. |
Значит β = 34. Вторая |
||||||||||
координата |
точки |
K есть 4 −3 3 |
4 |
= 7 |
4 |
. Итак |
K( |
3 |
, |
7 |
). |
В |
|
4 |
4 |
||||||||||||
смешанном расширении данной игры
46
min ( max (4 −3β, 5β−2)) = 74 .
0≤β≤1 i {1,2,3}
Определим и минимаксную стратегию второго игрока. Это
yВ = (3 4 , 14).
По аналогичной схеме найдём максиминную стратегию первого игрока. Его стратегию обозначим
x = (α, 1−α, 0), 0 ≤α ≤1. Третья компонента вектора x равна
0, т.к. минимаксная стратегия второго игрока определяется первым и вторым строками матрицы А. В этом случае в максиминной стратегии третья компонента равна 0.
Вычислим
1 |
4 |
|||
3 |
−2 |
= |
||
xA = (α, 1−α, 0) |
||||
0 5 |
||||
= (1α +3(1−α) + 0 0, 4α - 2(1 −α) +0 5) = (3 −2α, 6α −2) .
Обозначим
f1 (α) = 3 − 2α,
f2 (α) = 6α −2.
Найдём
max min ( f1(α), f2 (α)) =
0≤α≤1 i {1,2}
max ( min (3 −2α, 6α,−2)).
0≤α≤1 i {1,2}
Для нахождения максимина приведём геометрическую иллюстрацию на рис.6.4.
Вначале для каждого α [0,1] найдём
min (3 − 2α, 6α- 2).
i {1,2}
47
f
3N 5, 7
8 4
P |
||
0 |
α |
|
Рис. 6.4. |
||
−2 M |
Нарис.6.4 такиеминимумы длякаждого α [0,1] образуютломаную
– нижнюю огибающую MNP. Затем на огибающей находим наибольшее значение, которое достигается в точке N. Эта точка
появляется при α [0,1] и является решением уравнения f1 = f2 ,
т.е. 3-2a = 6a-2. Здесь a = 5 8 . Вторая координата точки N будет
3 − 2 5 |
8 |
= 7 |
4 |
. ИтакN( |
5 |
, |
7 |
). Всмешанномрасширенииданнойигры |
||||
8 |
4 |
|||||||||||
max ( min (3 −2α, |
6α,−2)) |
= 7 |
. |
|||||||||
0≤α≤1 |
i {1,2} |
4 |
||||||||||
Максиминная стратегия первого игрока xН = ( α, 1- α, 0) = (5/8, 3/8, 0).
В примере выполнены условия утверждения 4.2. В самом деле, минимакс и максимин существуют и выполнено равенство
νB = νН = 7/4. |
|
Значит цена игры |
ν * = 7/4 и седловая точка (x*, y*) = |
((5/8, 3/8, 0), (3/4, 1/4)). |
|
В итоговой проверке следует продемонстрировать |
|
выполнение равенства |
(x*)T A( y*) =v *. В данном примере |
получаем |
|
48
1 4 |
3 |
||||||||||||
(5 |
, 3 |
, 0) |
3 - 2 |
4 |
= 7 |
||||||||
8 |
8 |
1 |
4 , |
||||||||||
0 5 |
4 |
||||||||||||
верное равенство. |
|||||||||||||
Ответ : (x*, y*) = ((5/8, |
3/8, 0), (3/4, |
1/4)), ν * = 7/4 . |
|||||||||||
Наконец, решим отложенный из §3 Пример 3.3. (Орлянка, окончание ). Напомним, что эта игра
представлена матрицей
1 |
−1 |
|||
A2×2 |
||||
= |
−1 |
1 |
||
Здесь игрок 1 и игрок 2 имеет две чистые стратегии. Решаем игру с позиций первого игрока.
Пусть его стратегия x = (α, 1−α),0 ≤α ≤1. Вычислим
1 |
-1 |
|||
= (α −(1−α), -α +1 −α) = |
||||
xA = (α, 1−α) |
-1 |
1 |
||
(2α −1, 1− 2α).
Обозначим
f1 (α) = 2α −1,
f2 (α) =1 −2α.
Найдём
max min ( f1(α), f2 (α)) =
0≤α≤1 i {1,2}
max ( min (2α −1, 1-2α )).
0≤α≤1 i {1,2}
Для нахождения максимина приведём геометрическую иллюстрацию на рис.6.5.
49
f
1 |
f1(α) |
||||||
1 |
|||||||
P |
2 |
,0 |
|||||
α |
|||||||
0 |
1 |
||||||
f2 (α) |
|||||||
−1 |
M |
Q |
|||||
Рис. 6.5.
Вначаледля каждого α [0,1] найдём
min (2α −1, 1- 2α ).
i {1,2}
На рис.6.5 такие минимумы для каждого α [0,1] образуют
ломаную – нижнюю огибающую MPQ. Затем на огибающей находим наибольшее значение, которое будет в точке P. Эта точка
достигается при α [0,1] , которое является решением уравнения
f1 = f2 , |
т.е. 2 α - 1 = 1 - 2 α. Здесь |
α = |
1 2 . Вторая координата |
|||||||
точки P |
будет |
2 1 |
2 |
−1 = |
0 |
. Итак |
P( 1 |
2 |
, 0). |
В смешанном |
расширении данной игры
max ( min (2α−1, 1- 2α )) = 0.
0≤α≤1 i {1,2}
Максиминная стратегия первого игрока xн = ( α, 1- α) = (1/2, 1/2).
По аналогичной схеме найдём минимаксную стратегию второго игрока. Его стратегию обозначим
y = (β, 1− β), 0 ≤ β ≤1.
Вычислим
50