Файл: ВМ2ШП.docx

Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства

Билет №15

Структура общего решения неоднородной системы

Любые n – r линейно независимых решений системы называются ее фундаментальной системой решений.

частное решение

Билет №16

Линейный оператор в (В линейном пространстве). Матрица линейного пространства

Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Примеры линейных операторов.

Определение. Если каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент, то говорят, что в пространствеRⁿ задан оператор, действующий в пространстве Rⁿ.

Результат действия оператора A на элемент обозначают.

Если элементы исвязаны соотношением, тоназываютобразом элемента ; элемент—прообразом элемента .

Множество элементов пространства Rⁿ, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D(A).

Множество элементов пространства Rⁿ, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A). Если , то.

---

Ядром оператора называется множество элементов пространства Rⁿ, образом которых является нуле

нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): .

Определение. Оператор A, действующий в пространстве Rⁿ называется линейным оператором, если для любых изRⁿ и для любого числа α справедливо:

и .

Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов некоторого базиса в Rⁿ —

называется матрицей линейного оператора

Билет №17

Действия с линейными операторами и их матрицами

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве. Доказано, что образлинейного операторалинейное пространство. Размерность образа линейного оператора называетсярангом оператора, обозначается .

Ядром линейного оператора называется множество элементов из , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают:. Ядро линейного операторалинейное пространство; размерность ядра линейного оператора называетсядефектом оператора, обозначается :.

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве , справедливы следующие утверждения:

---

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор: ;

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

Билет №18

Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора. Их свойства и вычисления.

Пусть в -мерном линейном пространствевыбран базис, который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис, который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный векториз. Его координатный столбец в старом базисе обозначим, а в новом --. Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

---

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть ---мерное линейное пространство,и-- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть-- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

        Предложение 19.1   Пусть -- линейное преобразование пространства,и-- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

        Доказательство.     Пусть -- произвольный вектор пространства,-- его образ, то есть. Пустьи-- координатные столбцы векторовив старом базисе, а,-- в новом. Тогда в силу формулы (19.3). Попредложению 18.5имеем,. Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем. Откуда. С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе. Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем.

---