Файл: ВМ2ШП.docx

Доказательство теоремы. Действительно, если dimL=k, то существует система из k линейно независимых векторов , а любая система из k+1 вектора — линейно зависима, но тогда любой вектор линейно выражается через векторы :, т.е. — базис в L.

Справедливы также следующие утверждения (оставим их без доказательства).

Теорема. Любая упорядоченная система из k линейно независимых векторов k-мерного линейного подпространства является базисом в этом подпространстве.

Теорема. Размерность линейного подпространства равна числу векторов в базисе этого подпространства.

Отсюда следует: dim(Rⁿ) = n.

Действительно, в пространстве Rⁿ есть базис из n векторов — естественный базис в Rⁿ.

Пример. Размерность линейного подпространства L арифметических векторов из Rⁿ, у которых последние компоненты — нулевые, равна n – 1.

Действительно, векторы — очевидно, принадлежатL и линейно независимы. Покажем, что они образуют базис в L. Для произвольного вектора имеет место разложение справедливо:, т.е. векторы образуют базис в L. В этом базисе n-1 вектор, следовательно, dimL = n –1.

Тогда можно использовать другое определение базиса.

Определение. Любая упорядоченная линейно независимая система из k векторов k-мерного линейного подпространства L образует базис этого линейного подпространства L.

Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы из L линейно независимы, то для любого существуетединственный набор чисел таких, что .

Подпространство строк и подпространство столбцов прямоугольной матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу A_{m, n}, у которой m строк и n столбцов:

---

.

Её строки — —являются векторами изRⁿ,

А столбцы — — являются векторами изR^m.

Понятно, что множество строк матрицы A_{m, n} , к которому добавили все строки, которые могут быть получены при элементарных преобразованиях матрицы (исключая транспонирование) — линейное подпространство в Rⁿ.

А аналогично образованное множество столбцов — линейное подпространство в R^m.

Это означает, что мы можем говорить о линейной зависимости и о линейной независимости строк и столбцов матрицы, о размерности подпространства строк и подпространства столбцов матрицы, о базисах в соответствующих подпростьранствах.

Ранг матрицы

Определение. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы. Обозначаем RgA, rgA.

Т.е., если ранг матрицы равен r, то среди строк матрицы есть r линейно независимых строк, а любые r +1 строки — линейно зависимы.

Определение. Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются подобными.

Утверждение. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство утверждения. Пусть A_{m, n} — прямоугольная матрица и RgA = r. Не умаляя общности, положим — линейно независимы первые r строк: . Выполним элементарные преобразования строк матрицы. Обозначим полученную матрицуA’, ее строки — .Очевидно, что перестановка строк или умножение строки на число не может повлиять на количество линейно независимых строк.

Выполним такое преобразование: к одной из строк матрицы прибавим другую, умноженную на отличное от нуля число.

Сначала выполним такое преобразование с первыми r линейно независимыми строками.

Например, . Тогда

Т.к. строки , то линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда. Отсюда немедленно следует, что и, т.е. первыеr строк преобразованной матрицы — линейно независимы. Покажем, что любая системастрок преобразованной матрицы линейно зависима, т.е. покажем, что строкалинейно выражается через строки:

---

поскольку строки линейно зависимы, то

, а отсюда — и

Если же , то первыеr строк преобразованной матрицы линейно независимы, а любые r­+1 линейно зависимы, т.к. любая строка преобразованной матрицы линейно выражается через ее первые ­r линейно независимых строк:

Утверждение доказано.

Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы.

Доказательство теоремы. Рассмотрим ступенчатую матрицу

т.е. ,для всех, идля всех при. Важно понимать, то у ступенчатой матрицы первыеr диагональных элементов отличны от нуля:.

Первые r строк этой матрицы линейно независимы. Действительно, приравняем к нулю линейную комбинацию этих строк: и вычислим ее в естественном базисе:

,

, …,

Равенство нулю линейной комбинации возможно тогда и только тогда, когда:

, поскольку ,

, поскольку и, …,

, поскольку ,, …,и.

Итак, первые r ненулевые строки линейно независимы, а любые r+1 строки — линейно зависимы, т.к. линейно зависима любая система векторов, содержащая нулевой вектор.

Теорема доказана.

Отсюда — алгоритм вычисления ранга матрицы.

Приведем матрицу к ступенчатому виду (доказано, что это можно сделать гауссовым исключением), ранг исследуемой матрицы равен рангу ступенчатой матрицы (выше доказано, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы) , ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы (по только что доказанной теореме).

---

Билет № 10. Скалярное произведение в пространстве Rn, метрические соотношения.

Метрические соотношения в Rn

Определение. Если каждой паре векторов из пространстваRⁿ поставлено в соответствие действительное число , так, что для любыхизRⁿ и любого действительного числа справедливы следующие равенства:

1. 

1. 

2. 

3. при ,,— нулевой вектор,

то говорят, что в пространстве Rⁿ определено скалярное произведение .

Пример. Легко проверить, что изученное в разделе «аналитическая геометрия» скалярное произведение известное из школьного курса скалярное произведение в трехмерном пространстве геометрических векторов (в R³) является скалярным произведением в определенном выше смысле.

Пример. Рассмотрим пространство арифметических векторов R² ={X=(x₁, x₂)}. Определим скалярное произведение следующим образом:

(X, Y) = 2x₁y₁ + 3x₂y₂.

Легко убедиться, что для определенного таким образом скалярного произведения справедливы аксиомы 1. — 4.:

(X, Y) = 2x₁y₁ + 3x₂y₂ = 2y₁x₁ + 3y₂x₂ = (Y, X),

(X, Y) = 2(x₁)y₁ + 3(x₂)y₂ = (2y₁x₁ + 3y₂x₂) =  (X, Y),

(X+Y, Z) = 2(x₁+y₁)z₁ + 3(x₂+y₂)z₂ = (2x₁z₁ + 3x₂z₂) + (2y₁z₁ + 3y₂z₂) = (X, Z) + (Y, Z),

(X, X) = 2x₁x₁ + 3x₂x₂ = 2x₁² + 3x₂² >0 если , если жеX = (0, 0), то (X, X) = 0.

Вернемся к пространству арифметических векторов Rⁿ = {}

---

Определим в Rⁿ естественное скалярное произведение: каждой паре векторов ииз этого пространства поставим в соответствие действительное число. Нетрудно доказать, что для любых векторов,ии любого действительного числадлясправедливо:

4. при , итогда и только тогда, когда,— нулевой вектор.

Пространство арифметических векторов Rⁿ с определенным в нем естественным скалярным произведением называют евклидовым пространством арифметических векторов и иногда обозначают Eⁿ.

Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского

Теорема (неравенство Коши-Буняковского). Для любых векторов из пространстваRⁿ справедливо следующее неравенство .

Доказательство теоремы. Возьмем произвольное число и рассмотрим. По последнему свойству скалярного произведения для любых векторови любого числасправедливо:. С другой стороны,, т.е.. Выражение в левой части неравенства — квадратный трехчлен относительно. Он неотрицателен тогда и только тогда, когда дискриминант. Из последнего неравенства немедленно следует неравенство Коши-Буняковского:,. Теорема доказана.

---