Файл: ВМ2ШП.docx

        Определение 19.2   Две квадратных матрицы иодного порядка называютсяподобными, если существует такая невырожденная матрица , что.

Следствие 19.1   Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

Билет №19.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Их свойства и вычисление.

Определение. Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве Rⁿ. Число называется собственным значением, аненулевой вектор изRⁿ — соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они связаны между собой соотношением..

По теореме о связи координат образа и прообраза имеем: , гдеE — единичная матрица, а — нулевой векторRⁿ .

Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы . Ненулевое решение однородной системы (система нетривиально совместна), существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю:. Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения, а собственные векторы — как решения соответствующих однородных систем.

Легко видеть, что определитель — многочлен n-й степени относительно .

Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен— характеристическим многочленом оператора.

---

Примеры.

1. Нулевой оператор: , матрица нулевого оператора — нулевая матрица соответствующего порядка, т.е. т.е. — единственное собственное значение нулевого оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространстваRⁿ.

Свойства собственных векторов

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

1. характеристический многочлен оператора, действующего в Rⁿ является многочленом n-й степени относительно ;

2. линейный оператор, действующий в Rⁿ, имеет не более n различных собственных значений;

3. собственные векторы оператора определяются с точностью до постоянного сомножителя; поэтому принять вычислять собственные векторы единичной длины — орты собственных векторов;

докажем, что если — собственный вектор линейного оператора A, отвечающий собственному значению , то для любогоотличного от нуля числа вектор()— собственный вектор оператораA, отвечающий собственному значению :;

4. корни характеристического многочлена не зависят от базиса;

5. собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

20.Кривые 2-го порядка

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида.

---

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:

• Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если 

  • эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;

    • частный случай эллипса — окружность — при условии I² = 4D или a₁₁ = a₂₂,a₁₂ = 0;

  • мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии ΔI > 0;

  • гипербола — при условии D < 0;

• Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0

  • парабола — при условии D = 0.

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

• вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

• пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

• вырожденная парабола — при условии D = 0:

  • пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

  • одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

  • пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

21.Поверхности 2-го порядка

---