Файл: ВМ2ШП.docx

Метрические соотношения в Rⁿ

Определение. Число называется длиной вектора; число — расстоянием между векторамии; угол , косинус которого — углом между векторамии.

Если в Rⁿ скалярное произведение определено формулой , то для любых , из Rⁿ справедливо:

Ортогональность, ортогональные системы, ортонормированные базисы

Определение. Векторы ииз пространстваRⁿ называются ортогональными, если

Определение. Система векторов из пространстваRⁿ называется ортогональной, если векторы системы попарно ортогональны.

Теорема (о линейной независимости ортогональных систем). Ортогональная система векторов линейно независима.

Доказательство теоремы.

Предположим противное: векторы попарно ортогональны, но они линейно зависимы. Тогда один из векторов линейно выражается через остальные. Например, пусть это первый вектор: , (ясно, что речь идет о ненулевых векторах). Тогда, для всехj = 2, 3, …, k, т.е. . Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение. Система векторов из пространстваRⁿ называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Определение. Базис пространства Rⁿ называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

---

В пространстве Rⁿ в естественном скалярном произведении естественный базис — ортонормированный базис.

Билет №11

Система линейных алгебраических уравнений. Матричные уравнения.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными.

Составим матрицу А- матрица системы из коэфицентов при неизвестных (матрица)

Тогда исходную систему можно записать как матричное уравнение АХ=В

В том случае если число ур. = числу неизвестных m=n то матрич. Ур-ие АХ=В можно решить домножив обе части равенства на А^-1 слева!

1. *А*Х=*В

E*X=*В

Х=*В

2. Если домножим на справа!

Х=В*

3. А*Х*В=С слева на справа на

Х=*С *

Если m не равно n то матричное уравнение решают другим способом

Билет №12

Системы n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Правило Крамера.

Правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Применяется для решения систем линейных уравнений у которых совпадает число неизвестных с числом уравнений.

Если в системе линейных уравнений с неизвестными (дельта не равно 0) , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

Х=и так же с остальными

---

Определитель дельта равен

Определитель дельта1 получим из определителя дельта путем замены первого столбца определителя дельта (коэф. Прих1) на столбец свободных членов

Дельта Х2 получаем из определителя дельта путем замены второго столбца определителя дельта коэф при Х2 на столбец своб членов…..аналогично и для энного

Если дельта равна 0,то два случая

1. Дельта х1= дельта Х2=0---бесконечно много решений

2. Одно из них не равно нулю то системарешений не имеет

Билет №13

Свойства решений линейной системы. Нейтральная совместность единой системы. Совместность единой системы.

Если вектор x является решением однородной системы A·x = 0, то вектор αx также является решением этой системы. Здесь α — произвольное число.

Если векторы x и y являются решениями однородной системы A·x = 0, то вектор x + y также является решением этой системы.

Если вектор x является решением однородной системы A·x = 0, а вектор и y — решение неоднородной системы A·x = b, то вектор x + y является решением неоднородной системы A·x = b.

Если векторы x и y являются решениями неоднородной системы A·x = b, то вектор x − y является решением однородной системы A·x = 0.

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространствомпространстваRn. Размерностьэтого подпространства равнаn − r, где r − рангматрицы системыA.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранграсширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы.

Это утверждение называют теоремой Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений

очевидно несовместна.

Ранги расширенной матрицы системы матрицы системы не равны, rank Ap = 2, rankA = 1, rank Ap ≠ rankA:

Билет №14

---

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

 Определение. Любые линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения-ного порядка называетсяфундаментальной системой решений этого уравнения.

Из предыдущих теорем сразу следует еще одна важная теорема.

Теорема 7. Решения уравнения (2) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения тогда и только тогда, когда их определитель Вронскогоотличен от 0 хотя бы в одной точке.

Доказательство. Равносильная переформулировка утверждения теоремы – решения линейно зависимы тогда и только тогда, когдана. Но это утверждение сразу следует из теорем 5 и 6.

Теорема 8. Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (2) существует фундаментальная система его решений.

Доказательство. Построим такую фундаментальную систему решений. Для этого возьмемпроизвольную точку и поставимразличных задач Коши:.

По теореме 1 о существовании и единственности у каждой из этих задач имеется решение, и мы обозначим - решение 1-й задачи,- решение 2-й задачи, …,- решение-ной задачи. Мы получили- решения уравнения (2). Найдемдля этих функций:. Следовательно, по теореме 7, функцииобразуют искомую фундаментальную систему решений уравнения (2).

---

Теорема 9. Пусть - фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда для любого решенияэтого уравнения существуют постоянныетакие, что.

Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных:(11). Определитель этой системыне равен 0, т.к.- фундаментальная система решений. Поэтому у нее существует (и притом единственное) решение. Рассмотрим теперь функцию. По теореме 2 она является решением уравнения (2). Ввиду равенств (11) значения этой функции и ее производных до порядкавключительно в точкесовпадают со значениямии ее последовательных производных в точке. По теореме 1 оединственности решения задачи Коши ,.

Замечание. Теоремы 8 и 9 означают, что размерность векторного пространства решений уравнения (2) равна , а любая фундаментальная система решений представляет собой базис этого пространства

значениями и ее последовательных производных в точке. По теореме 1 оединственности решения задачи Коши ,.

---